圓錐曲線一個有趣性質的證明

文獻結尾提出了兩個結論，現證明如下：

定理1 已知PA，PB為橢圓x2a2+y2b2=1(a>0，b>0且a>b)的兩條切線，切點分別為A，B，Q為線段A，B的中點，線段PQ交橢圓于點C，則直線PQ經過橢圓的中心O，且OC2=OP#8226;OQ.

證明 設P(x0，y0)，則切點弦AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1.

①

當y0=0時，直線PQ顯然經過橢圓的中心O.

當y0≠0時，則由①式得

y=-b2x0a2y0x+b2y0.

②

把②代入x2a2+y2b2=1，整理，得

(a2b2y20+b4x20)x2-2a2b4x0#8226;x+a4b4-a4b2y20=0.

由韋達定理，xA+xB=2a2b4x0a2b2y20+b4x20=2xQ，

即xQ=a2b2x0a2y20+b2x20.

③

把③代入②，得

yQ=-b2x0a2y0#8226;a2b2x0a2y20+b2x20+b2y0=a2b2y0a2y20+b2x20.

∴OQ=a2b2x0a2y20+b2x20，a2b2y0a2y20+b2x20

=a2b2a2y20+b2x20(x0，y0).

又 OP=(x0，y0)，

∴OQ∥OP，

∴直線PQ經過橢圓的中心O.

下面證明：OC2=OP#8226;OQ.

為了證明以上結論，先給出文獻的結論：已知PA，PB為橢圓（雙曲線或者拋物線）的兩條切線，切點分別為A，B，過P的直線交橢圓（雙曲線或者拋物線）于C，D兩點，交弦AB于點Q，則PQ2=PC#8226;PD-QC#8226;QD.

由文獻可知PQ2-PC#8226;PD+QC#8226;QD=0.

上式左邊=(OP-OQ)2-(OP-OC)#8226;（OP+OC）+

（OC-OQ）#8226;（OC+OQ）

=OP2-2OP#8226;OQ+OQ2-OP2+OC2+

OC2-OQ2

=2OC2-2OP#8226;OQ=右邊=0，

即證OC2=OP#8226;OQ.

定理2 已知PA，PB為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0且a≠b)的兩條切線，切點分別為A，B，Q為線段A，B的中點，線段PQ交雙曲線于點C，則直線PQ經過雙曲線的中心O，且OC2=OP#8226;OQ.

證明 類似定理1，略.

定理3 已知PA，PB為拋物線y2=2px的兩條切線，切點分別為A，B，Q為線段A，B的中點，線段PQ交拋物線于C，則直線PQ與拋物線的對稱軸平行或重合，且PC=QC.

證明 設P(x0，y0)，則切點弦AB的方程為

y0y=p(x+x0)，∴x=y0py-x0.

①

把①代入y2=2px，整理，得

y2-2y0#8226;y+2px0=0.

由韋達定理，yA+yB=2y0，∴y0=yQ.

②

把②代入①，得

xQ=y0#8226;yQp-x0=y20p-x0.

∴Qy20p-x0，y0，PQ=y20p-2x0，0.

∴直線PQ與拋物線的對稱軸平行或重合.

下面證明：PC=PC.

易知yC=y0，代入y2=2px，得xC=y202p，

∴xP+xQ2=y20p-x0+x02=y202p=xC.

∴C為PQ的中點，即證PC=QC.

【參考文獻】

高凱.一道競賽題的推廣［J］.數學通訊，2010（2）（下半月）.