探究錯(cuò)解成因,培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

【摘要】探究性教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)和手段，又要打破思維定式，因勢(shì)利導(dǎo)，探究創(chuàng)新.通過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考，探求出新穎簡(jiǎn)捷的解題方法，這樣不僅鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是鍛煉學(xué)生探索創(chuàng)新的能力.

【關(guān)鍵詞】探究；思維品質(zhì)；基本不等式

探究性學(xué)習(xí)是一種適應(yīng)時(shí)代要求的全新的學(xué)習(xí)方式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)抓住一些典型的習(xí)題錯(cuò)解，引導(dǎo)學(xué)生去思考去探究，掌握從隱蔽的教學(xué)關(guān)系中尋找問(wèn)題實(shí)質(zhì)的能力，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).蘇教版數(shù)學(xué)必修5課本中有這樣一道習(xí)題：已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求1x+1y的最小值.

對(duì)這道題可作如下探究：

一、尋找錯(cuò)誤原因，消除誤區(qū)

錯(cuò)解 由已知，得1=x+2y≥22xy.

①

即2xy≤12，有12xy≥2.

②

故1x+1y≥21xy=2xy≥42.

③

從而知道1x+1y的最小值為42.

分析 ①與③兩處都運(yùn)用了基本不等式，要考慮到“等號(hào)”成立的條件是否同時(shí)滿足：在①處等號(hào)成立的條件是x+2y=1且x=2y，即x=12，y=14，而③處等號(hào)成立的條件是1x=1y且x+2y=1，即x=13，y=13.這樣兩處等號(hào)不能同時(shí)取得，故基本不等式中等號(hào)不能傳遞，故有1x+1y＞42，因而42不是最小值而應(yīng)比42大.

二、整體思想

考慮到錯(cuò)解中兩次使用基本不等式，導(dǎo)致等號(hào)不能同時(shí)取得錯(cuò)誤，于是考慮減少使用基本不等式的次數(shù)，具體求解如下：

1x+1y=x+2yx+x+2yy=1+2yx+2+xy

=3+2yx+xy≥3+22，

當(dāng)且僅當(dāng)xy=2yx與x+2y=1時(shí)，

即x=2-1與y=2-22時(shí)，取得最小值為3+22.

三、巧設(shè)變量

由于x，y均為正數(shù)和x+y=1中數(shù)字“1”而聯(lián)想到三角恒等式，于是可進(jìn)行如下?lián)Q元，解法是：設(shè)x=sin2A ，2y=cos2A，于是1x+1y=1sin2A+2cos2A=3+1tan2A+2tan2A≥3+22.

四、巧消元

考慮到已知條件與所求結(jié)論中的x，y兩個(gè)變量，采用消元法消去一個(gè)變量如y=1-x2，以達(dá)到簡(jiǎn)化未知數(shù)的目的.如：

1x+1y=1x+21-x=1-x+xx+2(1-x)+2x1-x

=3+1-xx+2x1-x≥3+22，

當(dāng)且僅當(dāng)1-xx=2x1-x，即x=2-1時(shí)，等式成立.

五、一題多變，細(xì)心領(lǐng)會(huì)

變式 ①已知0

解析 令1y=21-x，則該變式就是課本上的原題了.

②已知a，b是兩個(gè)不相等的正常數(shù)，正數(shù)x，y滿足ax+by=1.求x+y的最小值.

解析 可仿前面整體思想的解法，將“1”進(jìn)行代換.

x+y=1#8226;(x+y)=ax+by(x+y)

=(a+b)+ayx+bxy≥a+b+2ayx#8226;bxy

=(a+b)2，

則x+y的最小值為（a+b）2.

③已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足x+y=4，求不等式1x+4y≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解 設(shè)1x+4y的最小值為P，即

P=414x+1y=(x+y)14x+1y

=14+1+y4x+xy≥54+1=94，

即P≥94.

又 ∵1x+4y≥m，即P≥m恒成立，∴m≤94.

利用基本不等式求最小值是一種常用的方法.在解題時(shí)為滿足“一正”、“二定”、“三相等”三個(gè)條件，需要因題而異進(jìn)行“拆”、“拼”、“湊”等變換，轉(zhuǎn)化為“基本不等式”，從而提高思維的靈活性和簡(jiǎn)約性.