關于四色猜想的人工證明

【摘要】從圖論解讀的世界地圖上歸納出四種子圖，在對圖形進行點著色后，發現它們需要的色數恰和世界地圖對應、恒等和同構，從而使四色猜想獲證；若對子圖進行對稱操作，可獲得該圖明確的著色數，這是因為不同的對稱圖形各由自身獨特的對稱操作決定的.因為子圖和世界地圖一一對應、恒等而同構，故四色猜想獲證.五色可著遍世界各國，但世界地圖只需四著色，故本文用實例以排斥法否認平面圖上存在五國（或更多國）互鄰.因此，世界地圖四著色成立.

【關鍵詞】包圍理論；色多項式；子圖；同步交替律；對稱元素；對稱操作；同構

一、引 言

1840年，德國數學家莫比烏斯提出類似四色的問題.1850年英國葛瑞斯兄弟認為，繪制地圖時，相鄰兩國必須著異色以示區別，四種顏色足夠.直到1976年，美國人阿佩爾和哈肯終于借助計算機證明了四色猜想.此證明雖有漏洞，但其偉大成就不容置疑.

一百多年來，世界一流專家學者以及廣大愛好者為尋覓人工證明殫精竭慮卻久攻不獲.今作者不惴冒昧，斗膽向四色猜想挑戰，提供下列人工證明，若文中立論錯誤，理應推翻，若措詞欠當，敬請專家指教修改.

二、正 文

雖然地球是一個橢圓形球體，但球面世界地圖和平面世界地圖拓撲等價.通過對平面世界地圖長期的觀察、分析和研判，終于揭示出一條“包圍理論”，即世界上任何一個內陸國家可以被周圍鄰國包圍，沿海國家則被鄰國和海洋包圍，而島國則被海洋包圍，三者必居其一，這或許是一條定理.圖論的解讀是任一內陸國家，被一國（或兩國）包圍只形成短線段或三員環.只有當它被三國（或更多）的鄰國包圍時才形成鄰圈.故島國只形成點或短線段，沿海國家形成線段或環，內陸國家被三個（或更多）國家包圍時可形成中心對稱的圈.作者已用抽屜原理，對南北美洲地圖分析、比對后，其分類結果也相同，余可類推.由此可知平面世界地圖是由點、線段、環和中心對稱的圈這四種子圖混合拼合而成的圖形.這就將四色猜想化繁為簡，成為位置幾何學中的一個證明題.個別特例也易處理，絕不會影響四色猜想的證明.

對色數的研究獲知，若用阿拉伯數字代表四色，則色多項式共有十二種，即（1-2-1）（1-2-3）（1-2-4）（2-1-2）（2-1-3）（2-1-4）（3-1-2）（3-1-3）（3-1-4）（4-1-2）（4-1-3）（4-1-4），著色時，周而復始，循環無窮，取之不盡，用之不竭.若用貪心著色法相向著色，出現同色對接矛盾，可用替代、傳遞和對應等數學手段，局部改變色序解決.

分析子圖，島國作為點，僅著一色（島國群的著色原則類似大陸國家，擱置另議）.對于沿海國家作為線段，不論長短其色數為2，再長的線段，點的性質只分奇偶兩種，為減少色數的使用，必須符合奇點、偶點和兩種異色同步交替的規律.若為多員環，則偶環色數為2，而奇環色數為3，因為環的首尾兩點不可同色對接，必另加一色.內陸國形成中心對稱的偶圈，色數為3，而中心對稱的奇圈色數為4，因為圖上點的種類僅三種，即奇點、偶點、頂點，著三色，唯圈上首尾兩點不可同色對接，必另加一色，共四色.這是色數上界.凡中心對稱的奇圈，不論圈上點的增多，或圈的面積無限增大，它必須符合奇偶異色同步交替律，故它所需要的色數和最小中心對稱的奇圈（即四國互鄰），色數相同都是4.由于世界地圖和子圖一一對應，兩者恒等、同構，所以對它著色時，需要的色數也必≤4.歸納以上討論，應可斷言，可平面化地圖均四色，從而命題獲證.

世界地圖和它的子圖都是用線連接點的集合，它們必須受下列條件制約：1.圖的平面性.2.圖中連續的點有奇偶性.3.包圍理論，使圖簡單化.4.圖的元素僅點、線和面三種.5.圖無度量性.6.圖必具有對稱性.在這6種條件制約下，世界地圖的構形從633種立減為4種，即點、線段、環和中心對稱的圈.子圖簡單清晰，但和世界地圖是對應的.可利用對子圖圖形進行對稱操作后，所提供的著色信息必和世界地圖等價.下面試從對稱元素組成四類對稱圖形，進行對稱操作，判斷著色時需要多少色數，以此證明四色猜想.

在研究圖形時，應略去它的度量性質，而對點與線形成的幾何圖形，點的奇偶性，點的種類和在圖形中的位置，特別是圖形的對稱性、對稱操作，應重點探究.分析世界地圖的子圖時，發現圖都有對稱性，且可進行對稱操作，這對圖形的點著色提供了信息.

在圖中作為一個點，進行對稱操作E，它是恒等元素，無疑只著一色.凡線段都有C2對稱軸，可進行C2對稱操作，線段不論長短，為了減少色數，必遵循奇偶異色同步交替律，對線段著二色即可.由點、線組成平面如環（三員環或多員環），它們都有垂直于該平面的高次（奇次或偶次)旋轉軸，可繞軸旋轉，進行Cn對稱操作，這就可確定圖形應著三色或兩色，或在倒反時，若圖形被改變者，需著三色，反之則著二色.即奇環著三色，偶環著二色.同理，對中心對稱的圈，除了符合成環著色理論外，和環不同的是它們的對稱中心是一個實點（一個內陸國家），必須比對應的環多著一色，即應著四色或三色.總之，著四色者，其圖形一定有C奇數主旋轉軸，對稱中心是一個實點，或倒反時其圖形被改變才能確認.若圖形有C偶數主旋轉軸，雖有實點對稱中心，但它倒反時，圖形并不改變，著三色即可.

綜上所述，三個對稱元素構成的對稱圖形雖千變萬化，但萬變不離其宗.世界地圖僅四種子圖，通過對稱操作后，可確定對子圖圖形進行點著色時，需要的色數≤4.由于子圖的對稱性和世界地圖一一對應，兩者恒等且同構，故命題獲證.用對圖的對稱操作來證明四色猜想，在證法上是一種新的探索.

下面用反證法否定平面世界地圖上存在五國（或更多國）互鄰.如五星小妖，圖形中兩線相截，平面不容，且它有空中的點和異面直線.如正四面體，五點組成一個小實塊，Td群的圖形平面上不存在.又如三角雙錐，若其C3主軸在平面上，其對稱面必垂直并截取紙面，它屬D3d群.上述三種幾何圖形都是立體的，所以在平面上絕不存在，這亦證明平面世界地圖四著色成立.

三、結 果

歸納法和用對稱點群推導出的子圖圖形通過對稱操作，獲得的色數和世界地圖等價，因兩者的圖形一一對應、恒等、同構，所需色數都≤4，故命題獲證.

另外，用反證法，也證明世界地圖四著色成立.

四、結 語

本文發現了包圍理論、圖的對稱性、對稱操作，總結出奇偶異色同步交替律，共提供三款常規人工證明.第一款證明是從地理學、地圖學中歸納后，推導出幾何圖形，并從圖形上點的性質和種類，從而給出圖形色數≤4，從而使命題獲證.第二款證明是從三種對稱元素，推導出四種圖形，通過對圖形的對稱操作，獲知圖形在點著色時，需要的色數≤4.由于子圖和世界地圖恒等且同構，使命題再次獲證.而第三款證明是利用反證法，否認平面世界地圖存在五國（或更多國）互鄰，從而世界地圖四著色成立.

三款證明互相印證，真可謂異曲同工又殊途同歸.因此發現四色猜想原來是一題多證的命題.

大可不必再用點和線來重畫一張世界地圖了，數學史早就記載過.1850年，英國葛瑞斯兄弟倆用四色成功染遍世界各國，面著色和點著色是對偶的，他們在辦公室辛勤代勞，亦可作為一次四色猜想的實驗證明.

這就是四色猜想之精髓，亦即四色猜想獲證的理論根據和證因.

拒絕使用計算機是不明智的，但人腦的思維空間和想象力是無限的.只有兩者結合，才能解決難題.本文的三例手工證明，說明邊緣學科難題的求證，必須應用新的數學方法與手段，化難為易，方能出奇制勝，這也彰顯了純粹數學迷人的無窮魅力.

五、展 望

四色猜想是圖論、甚至整個數學中最難的問題之一.本文若被確認，那不但豐富了圖論的內容，也給世界數學史增添了華彩的篇章.

包圍理論、圖的對稱性、對稱操作和同步交替律的發現、四色猜想證因的揭示，其理論意義影響深遠，在民航飛行安全的空域頻率覆蓋方面已獲應用，余尚待繼續深入探索和開發.

致 謝

對電子科技大學的顧駿驊、蘇州科技學院的張婧嫣，在提供資料及文字整理方面的協助，在此一并致謝.

【參考文獻】

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