淺析概率論中的幾個(gè)問(wèn)題

【摘要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在各個(gè)領(lǐng)域都有極為廣泛的應(yīng)用，而概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，因此要學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，必須有扎實(shí)的概率論功底.本文給出了判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單條件，分析了如何更好地使用全概率、貝葉斯定理，進(jìn)一步簡(jiǎn)化中心極限定理，使得它們更容易被學(xué)生接受.

【關(guān)鍵詞】二項(xiàng)分布；全概率定理；貝葉斯定理；中心極限定理；簡(jiǎn)化

一、引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都具有極為廣泛的應(yīng)用，特別是隨著計(jì)算機(jī)的迅速普及，概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)、管理、金融、保險(xiǎn)、生物、醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用更是得到長(zhǎng)足的發(fā)展.正是概率統(tǒng)計(jì)的這種廣泛的應(yīng)用性，使得它今天成為各類專業(yè)大學(xué)生的最重要的數(shù)學(xué)必修課之一.概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，因此要學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)必須有扎實(shí)的概率論功底.在這門課程的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)如何判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，對(duì)全概率、貝葉斯、中心極限定理如何使用感到困難，因此，根據(jù)自己多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勛约簩?duì)這些問(wèn)題的理解及教學(xué)體會(huì).

二、二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是最常見(jiàn)的離散型分布，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用上有著重要的地位.因此熟練掌握二項(xiàng)分布尤為重要.為了使學(xué)生對(duì)二項(xiàng)分布有準(zhǔn)確深入的理解，下面從兩個(gè)方面來(lái)分析.

1.如何判斷隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布與n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)有著密切的聯(lián)系，可以把ξ是否服從二項(xiàng)分布?xì)w結(jié)到判斷隨機(jī)變量ξ是否表示n重Bernoulil實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù).我們得到的結(jié)論是:如果ξ表示n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ~B(n，p)，否則不然.這樣我們就可以把判斷是否服從二項(xiàng)分布的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到了判斷是否是n重Bernoulli實(shí)驗(yàn).學(xué)生可以根據(jù)n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)判定的4個(gè)條件來(lái)一一判斷，這樣學(xué)生的可操作性強(qiáng)了，對(duì)這個(gè)問(wèn)題就不會(huì)無(wú)從下手.到此雖然解決了如何判斷隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，但是ξ是否真正地確定下來(lái)了呢?確定一個(gè)離散型隨機(jī)變量ξ的狀態(tài)必須知道它的概率分布.從二項(xiàng)分布公式中可知我們必須確定兩個(gè)參數(shù)n，p.這就是我們要考慮的第二個(gè)問(wèn)題.

2.設(shè)ξ~B(n，p)，如何確定兩個(gè)參數(shù)n，p

在文獻(xiàn)［2］中我們歸納得到:

（1）參數(shù)n即是n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)的重?cái)?shù)n.

（2）參數(shù)p為n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率.

利用（1），（2）學(xué)生就能夠快速、準(zhǔn)確地判斷ξ是否服從二項(xiàng)分布并確定ξ的分布.為了方便省時(shí)，大家熟悉一些常見(jiàn)的服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量是有必要的.

如:n個(gè)病人治療有效(無(wú)效)的個(gè)數(shù)，檢查n件產(chǎn)品中次品（合格品）的個(gè)數(shù)，n次射擊中命中的次數(shù)，醫(yī)學(xué)領(lǐng)域二分類記數(shù)資料.

三、全概率、貝葉斯定理

1.全概率定理

在計(jì)算事件發(fā)生的概率時(shí)，常常遇到事件同時(shí)受到多個(gè)因素的影響，使得我們不能夠直接計(jì)算此事件的概率，這就使得許多學(xué)生對(duì)計(jì)算這類事件的概率無(wú)從下手，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題全概率定理給了我們很好的方法.從這個(gè)定理得到:我們可以借助引入各種小前提因素將樣本空間適當(dāng)?shù)胤纸鉃槿舾刹糠郑沟迷诿總€(gè)部分中（即在各小前提下）容易求得所要的概率.

利用全概率定理的時(shí)候我們要弄清兩個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題：

第一，哪種情況下得用全概率定理.

第二，如何準(zhǔn)確地找到定理中所需要的完備事件組.

下面針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析.

(1)哪類事件概率的計(jì)算得用全概率定理

從全概率定理的形式上看是比較復(fù)雜的，因此能不用盡量不用.那么什么樣的事件概率的計(jì)算得用它呢?我們把它歸納為復(fù)雜事件的概率計(jì)算得用全概率定理.對(duì)于復(fù)雜事件我們有如下定義:

定義1 受兩個(gè)或兩個(gè)以上因素影響的事件稱為復(fù)雜事件.

如:10個(gè)簽中有4個(gè)難簽，3個(gè)人參加抽簽(不放回)，甲先乙次丙最后，設(shè)B為乙抽到難簽這個(gè)事件.事件B就是一個(gè)復(fù)雜的事件，因?yàn)槭录﨎受到甲抽到難簽和沒(méi)有抽到難簽這兩個(gè)因素影響.

(2)找完備的事件組

用全概率公式去解決復(fù)雜事件的概率首先得準(zhǔn)確地找到完備的事件組，很多學(xué)生在找完備的事件組的時(shí)候往往遺漏某些事件，導(dǎo)致找到的事件組并不是完備的.為了找到恰當(dāng)?shù)耐陚涞氖录M我們分成兩個(gè)步驟：

第一，找事件組：確定復(fù)雜事件受到哪些因素影響，每一個(gè)因素就設(shè)定為一個(gè)事件，這樣就得到一組事件B1，B2，…，Bn.

第二，驗(yàn)證B1，B2，…，Bn是否完備，進(jìn)一步防止遺漏某些事件.

2.貝葉斯定理

貝葉斯定理是全概率定理的推論，這樣有了對(duì)全概率定理的分析作為基礎(chǔ)，分析貝葉斯定理就簡(jiǎn)單多了.貝葉斯定理中所需要的完備的事件組尋找的方法和全概率定理中的一樣.下面我們只要弄清楚哪類條件概率得用貝葉斯定理去解決，這類的條件概率有這樣的特點(diǎn):都是在已經(jīng)知道實(shí)驗(yàn)結(jié)果的條件下的條件概率.

最后使用全概率定理與貝葉斯定理時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

(1)全概率定理是把復(fù)雜的事件的概率分解為較為簡(jiǎn)單的事件的概率計(jì)算.

(2)貝葉斯定理往往用于從結(jié)果分析原因時(shí)的概率計(jì)算，用于幫助我們追查事件的起因.

(3)使用兩個(gè)定理時(shí)，對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分，劃分后的事件組必須是完備事件組.

四、中心極限定理

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，中心極限定理是非常重要的內(nèi)容，而且是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間承前啟后的一個(gè)重要的紐帶.它提出大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布，因此它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體經(jīng)驗(yàn)曾出現(xiàn)鐘形曲線這一事實(shí)，因此中心極限定理使正態(tài)分布有了廣泛的應(yīng)用.但在講授這一內(nèi)容時(shí)卻十分棘手，學(xué)生難以理解該定理，不能很好運(yùn)用該定理解決問(wèn)題.本人從教學(xué)改革角度出發(fā)，以提高學(xué)生知識(shí)能力為主，對(duì)中心極限定理課堂的教學(xué)進(jìn)行初步的探討，使原本復(fù)雜的中心極限定理通俗化.

1.獨(dú)立同分布的中心極限定理

定理1 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，并且具有期望和方差：E(Xi)=μ，D(Xi)=δ2(i=1，2，…)，則隨機(jī)變量Yn=∑ni=1Xi-nμnδ的分布函數(shù)Fn(x)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).即對(duì)x∈R滿足limn→∞Fn(x)=limn→∞P(Yn≤x)=Φ(x).

從定理1的結(jié)論上似乎看不出它可以用來(lái)解決什么問(wèn)題，下面對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析提取有用的信息.

令X=X1+X2+…+Xn，

E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=nμ，

D(X)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=nδ2，則有

Yn=∑ni=1Xi-nμnδ=X-E(X)D(X)，

Fn(x)=P(Yn≤x)n充分大時(shí)Φ(x).

由上式，可得到：

（1）當(dāng)n很大時(shí)，Yn=X-E(X)D(X)可以近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即Yn~N(0，1).

（2）當(dāng)n很大時(shí)，X可以近似服從正態(tài)分布且X~N(E(X)，D(X)).

通過(guò)上面的分析我們把獨(dú)立同分布的中心極限定理簡(jiǎn)化如下：

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且服從同一分布，并且E(Xi)，D(Xi)存在(i=1，2，…，n)，X=X1+X2+…+Xn.若n足夠大，則X~N(μ，δ2)，其中μ=E(X)，δ2=D(X).

對(duì)于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列{Xn}，不管Xi(i=1，2，…，n)服從什么分布，只要它們是服從同一分布且有數(shù)學(xué)期望與方差，那么當(dāng)n充分大時(shí)隨機(jī)變量之和X=∑ni=1Xi近似地服從正態(tài)分布X~N(E(X)，D(X)).

2.棣莫弗—拉普拉斯定理

定理2 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為P的兩點(diǎn)分布，則x∈R有

limn→∞P∑ni=1Xi-nPnP(1-P)≤x=Φ(x).

下面我們對(duì)這個(gè)定理的結(jié)論進(jìn)行分析

令X=X1+X2+…+Xn，顯然X~B(n，P)，

E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=nP，

D(X)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=nP(1-P)，

Yn=X-nPnP(1-P)=X-E(X)D(X)，則有

P∑ni=1Xi-nPnP(1-P)≤x=P(Yn≤x)n充分大Φ(x).

由上式，可得到：

（1）當(dāng)n很大時(shí)，Yn=X-E（X）D（X）可以近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即Yn~N(0，1).

（2）當(dāng)n很大時(shí)，X可以近似服從正態(tài)分布且X~N(E(X)，D(X)).

通過(guò)上面的分析我們把棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理簡(jiǎn)化如下：

設(shè)X~B(n，P)，若n充分大(一般nP≥5)，則X~N(μ，δ2)，其中μ=E(X)=nP，δ2=D(X)=nP(1-P).

對(duì)于二項(xiàng)分布來(lái)說(shuō)，當(dāng)nP較小時(shí)，可令λ=nP，用泊松分布近似計(jì)算比較精確；當(dāng)nP較大時(shí)，則根據(jù)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理可用正態(tài)分布近似計(jì)算.

中心極限定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本的均值總是近似地服從正態(tài)分布.如果一個(gè)隨機(jī)變量能夠分解為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進(jìn)行解決.

【參考文獻(xiàn)】

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