巧用變式教學,提高數學課堂教學的實效

【摘要】變式教學和變式訓練對培養學生創造性思維，激發學生學習數學的興趣，起到比較積極的作用.巧用變式教學是提高數學課堂教學實效性的重要手段之一.

【關鍵詞】變式教學；變式訓練；教學實效

在我們周圍存在這樣一種現象：學生花費很多的時間做了很多的數學題，可數學考試時，只要將講過的例題或做過的題稍作變化，有些學生就會無從下手、不知所措.作為數學教師，我時常反思自己的教學行為.我覺得：出現這種情況應該從我們的教學方法和教育理念上找原因.比如有相當一部分數學教師認為：學習數學就要做大量的題目，練得多了就能達到“熟能生巧”.殊不知，大量的、重復的題目不僅使學生的思維僵化、機械化、無創造性，還會使學生對數學學科產生厭煩的心理，對數學徹底失去興趣.眾所周知，數學教學的最根本目的是培養學生能夠獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新意識以及創造性的邏輯思維方式；數學教學不能局限于課本，更重要的是讓學生在學習中學會如何運用課本的知識能夠“窺一斑知全貌”“舉一例能反三”.因此，數學教學應注重數學變式教學和變式訓練.它將切實減輕學生的過重的學業負擔，在提高教學效率上起到事半功倍的效果.

那么，什么是變式教學和變式訓練呢？又如何在日常數學教學中培養學生的數學變式能力從而達到提高數學課堂教學的實效？下面我就結合本人多年來的教學實際談談個人膚淺的看法.

一、什么叫變式教學和變式訓練

所謂數學變式教學和變式訓練，是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特征卻不變.利用變式教學和變式訓練，通過對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，能幫助學生打通關節，構建有價值的變式探索研究，展示數學知識發生、發展和應用的過程，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律.

二、變式教學和變式訓練的價值認識

1.優化學生的思維素質

（1）培養學生的思維發散性.變式教學和變式訓練使學生不只看到事物的表象，而能自覺地探索事物的本質，學會比較全面地看待問題，學會從事物之間的聯系上理解事物的本質，能在一定程度上克服和減少由于絕對化思維而出現的思維僵化、思維惰性，使思維向多方面發展，培養思維的發散性.

（2）培養學生的思維廣闊性.反復進行問題演變的訓練，可以幫助學生克服思維狹窄性.教師在教學過程中，不能只重視計算結果，要針對教學的重點和難點，精心設計有層次、有梯度、要求明確、題型多變的練習題；通過訓練學生不斷探索解題的捷徑，使思維的廣闊性得到發展；通過多次漸進式的拓展訓練，學生就能進入思維廣闊的佳境.現形新課標指導下的各地新教材都設有“想一想”欄目，這就是把教材中的例題進行演變的內容，目的就是培養學生思維的廣闊性.

（3）培養學生的思維批判性.數學中有許多概念、法則、公式、定理和方法，因內容相近致使學生在學習中發生混淆.演變、辨析、對比，就是對某一問題給出有正誤的答案，讓學生辨別哪個正確，哪個錯誤，并說出根據，這樣的“變式數學”能促進學生把握問題的實質，使學生客觀地評價事物，提高辨別是非的能力，培養思維的批判性.

（4）培養學生的思維創造性.衡量學生思維水平的重要標準是思維的創造性，即善于探索、突破、創新，能夠發現和解決自己或別人未曾發現或未解決的問題，要培養這種可貴的品質，學生必須有可供發現的有價值的材料，但教材在這方面往往不可避免地存在欠缺，因為在闡述數學原理和規律時，一般都把數學家們當初的真實發現過程給抽掉了，這就需要教師來彌補這個不足.為此，我們可以利用研究對象的變式，設計出規律的材料，去引導學生發現，讓學生利用自己已有的知識去探索、猜想，進而培養學生思維的創造性.

2.培養學習興趣，提高教學效率

課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與度，這就要求學生要有參與意識，加強學生在課堂教學中的參與性，使學生真正成為課堂的主體，是現代數學教學的趨勢.變式教學可以暴露問題的本質，揭示不同知識點的內在聯系.通過變式教學，能增加學生的新奇感和參與度，教學、學習中的興奮點不斷閃現，從而激發學生的好奇心、求知欲和創造力，提高學生參與教學活動的興趣和熱情，取得較好的教學效果.

三、培養學生數學變式能力的方法

著名數學教育家波利亞說過：“好問題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”教師教育學生的是培養學生解決問題的能力、學習新事物的能力，提出更一般的、更廣闊的、更深刻的新問題和建立新理論的能力.

1.重視基礎，適時變通

數學基礎知識、基本概念是解決數學問題，并產生新問題的起點.一般情況下，要從知識發生的過程設計問題，突出概念的形成過程；從學生認知的最近發展區來設計問題，不是將公式簡單地告訴學生；通過設計開放性的問題，讓學生通過類比、歸納、猜想得出結論，再對結論進行論證.

例1 求證：順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.

變式1 求證：順次連接矩形各邊中點所得到的四邊形是菱形.

變式2 求證：順次連接菱形各邊中點所得到的四邊形是矩形.

變式3 求證：順次連接正方形各邊中點所得到的四邊形是正方形.

變式4 順次連接對角線滿足什么條件的四邊形各邊中點可以得到矩形？

變式5 順次連接對角線滿足什么條件的四邊形各邊中點可以得到菱形？

變式6 順次連接對角線滿足什么條件的四邊形各邊中點可以得到正方形？

……

通過這樣一系列的變式訓練，使學生充分掌握了“四邊形”這一章節的所有基礎知識和基本概念，強化溝通了常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓寬了學生的解題思路，活躍了思維，激發了興趣.

2.創新思維，發展能力

豐富而扎實的基礎知識是形成創新意識的前提，要想知識和能力同時協調發展，教師在教學中既要使學生掌握知識，又要使學生把握知識形成過程，從中吸取豐富的智力營養，盡量讓學生體會到蘊藏在數學問題中的“生命”價值.具體地說，在數學活動中，它是一種不依常規，尋求變異，從多角度、多層次、多方位地去思考問題、尋求答案的優良品質，其基本特征是：流暢性、變通性、獨創性.

例2 已知：如圖1所示，△ABC的∠B和∠C的平分線BE，CF相交于點O.求證：∠BOC＝90°＋12∠A.

證明 ∵BE平分∠ABC，∴可設∠ABE=∠EBC=x，同理設∠ACF=∠FCB=y.

可得2x+2y+∠A=180°，

x+y+∠BOC=180°，

∴∠BOC=90°+12∠A.

變式1 將∠BOC變為三角形兩條外角平分線相交而成的角，探求∠BOC與∠A的關系.已知：如圖2所示，△ABC的兩個外角∠CBD，∠BCE的角平分線相交于點O.求證：∠BOC=90°-12∠A.

證明 ∵BO平分∠CBD，

CO平分∠BCE，

∴可設∠DBO=∠OBC=x，

∠BCO=∠OCE=y.

則x+y+∠BOC=180°，

(180°-2x)+(180°-2y)+∠A=180°，

易得∠BOC=90°-12∠A.

變式2 將∠BOC變為三角形一條外角平分線與一條內角平分線相交而成的角，探求∠BOC與∠A的關系.

已知：如圖3所示，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD.求證：∠BOC=12∠A.

證明 ∵BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，

∴設∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCD=y.

則x+∠BOC=y，

2x+∠A=2y，易得∠BOC=12∠A.

變式3 將三角形兩條角平分線的交點O變為三角形兩邊的中垂線的交點，探求∠BOC與∠A的關系.

已知：如圖4所示，O為△ABC內一點，且OA=BO=OC.求證：∠BOC＝2∠BAC.

證明 ∵OA=OB，

∴可設∠OAB=OBA=x.

同理，可設∠OBC=∠OCB=y，∠OCA=∠OAC=z，有

2y+∠BOC=180°，

2x+2y+2z=180°，易得∠BOC＝2∠BAC.

如此，對于教材中許多重要的例題、習題進行類比、引申、推廣，提出新問題并加以解決，從而引發學生積極思考，不但發揮了教材的示范作用，更能培養學生數學思維的靈活性和思考問題的深刻性.

3.掌握規律，提高技能

數學問題的演變是從基礎問題出發進行變化，對學生的思維能力要求高，但仍有一定的方法、技巧可循.如何引導學生根據現有的思維水平，運用已掌握的知識，通過正確的思維方式，把碰到的數學問題轉化為熟悉的或容易解決的數學問題，變中求解、解中求變呢?

例3 （全國初中數學競賽題）設實數s和t分別滿足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求st+4s+1t的值.

解 顯然t≠0，把t2+99t+19=0的兩邊同除以t2，

得191t2+99×1t+1=0.

而19s2+99s+1=0，且st≠1，

∴s和1t是二次方程19x2+99x+1=0的兩根.

∴s+1t=-9919，s×1t=119，

∴st+4s+1t=s+1t+4×st=-9919+119=-5.

變式1 （全國初中競賽題）如果s，t是質數，且s2-13s+m=0，t2-13t+m=0，那么求st+ts的值.

解 當s=t時，st+ts=2；

當s≠t時，s和t是方程x2-13x+m=0的根，∴s+t=13.

又 ∵s，t是質數，∴s，t的值只可能是2和11，

∴st+ts=112+211=12522，∴st+ts的值為2和12522.

變式2 已知α，β是方程x2+2002x+1=0的兩個根，求(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)的值.

解 由題意可知α2+2002α+1=0，β2+2002β+1=0，

∴(α2+2004α+1)(β2+2004β+1)=2α#8226;2β=4αβ=4.

【參考文獻】

［1］薛金星.中學教材全解（七年級數學#8226;下）華東師大版.陜西人民教育出版社.

［2］歷屆全國初中數學競賽試題精選.