五“心”向量問題的探討

【摘要】三角形五“心”——外心、重心、垂心、內心以及旁心的向量形式的充要條件并加以證明，推廣到四面體的五“心”——外心、重心、垂心及其棱心的向量形式的充要條件并加以證明.

【關鍵詞】外心；內心；垂心；重心；旁心；棱心

三角形作為最基本的圖形之一，在幾何中有著特殊重要地位.從《周髀》《九章》《幾何原本》到現在一直對它的性質進行廣泛的研究并推廣，特別在現代數學的各種研究文獻中對三角形在空間中的“正規推廣”——四面體的研究有很大的突破.

三角形的幾乎所有性質都可推廣到四面體上去.本文主要對三角形的五“心”——外心、重心、垂心、內心及其旁心的向量形式的充要條件進行研究并推廣到四面體的五“心”——外心、重心、垂心、內心及其棱心的向量形式的充要條件.

一、三角形五“心”向量形式的充要條件

1.外 心

結論1 如圖1，若O是△ABC所在平面上一點，則O是△ABC的外心的充要條件是OA2=OB2=OC2.

證明 由向量數量積的運算性質，可得a2=|a|2，

∴OA2=OB2=OC2|OA2|=|OB2|=|OC2||OA|=|OB|=|OC|O是△ABC的外心.

2.重 心

結論2 若O是△ABC所在平面上一點，則O是△ABC的重心的充要條件是OA+OB+OC=0.

證明 充分性.若OA+OB+OC=0，如圖2，作以OA，OB為鄰邊的OBC′A，OC′與AB交于D點，則D為AB的中點且由OA+OB+OC=0OA+OB=-OC，而根據向量加法定義，可得OA+OB=OC′，OC=-OC′，

∴C，O，C′三點共線，而D在OC′上，∴D在CC′上.

∴OD是△ABC的邊AB上的中線.設AO，BO的延長線交對邊分別于E，F，同理可得AE，BF為邊BC，AC的中線.

∴O是△ABC的重心.

必要性.設O是△ABC的重心，D，E，F分別是AB，BC，AC的中點.如圖3，延長OD到M，使得|OM|=2|OD|，則四邊形OAMB為平行四邊形，根據向量加法的定義，可得

OA+OB=OM.

∵O是△ABC的重心，

∴|OC|=2|OD|，

∴|OC|=|OM|.

又 ∵C，O，M三點共線，

∴OM=-OC，即OA+OB=-OC.

∴OA+OB+OC=0.

3.垂 心

結論3 如圖4，若O是△ABC所在平面上一點，則O是△ABC的垂心的充要條件是OA#8226;OB=OB#8226;OC=OC#8226;OA.

證明 充分性.若OA#8226;OB=OB#8226;OC=OC#8226;OA，有OA#8226;OB=OB#8226;OC，得OA#8226;OB-OB#8226;OC=0.

∴OB#8226;(OA-OC)=0，

∴OB⊥CA，同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，

∴O是△ABC的垂心.

必要性.若O是△ABC的垂心，則

OB⊥CA，OC⊥AB，OA⊥BC.

由OC⊥AB，得OB#8226;OC=0.

而AB=OB-OA，∴OC#8226;(OB-OA)=0，

∴OB#8226;OC-OC#8226;OA=0，即OB#8226;OC=OC#8226;OA.

同理可得OA#8226;OB=OC#8226;OA，

∴OA#8226;OB=OB#8226;OC=OC#8226;OA.

4.內 心

結論4 若O是△ABC所在平面上一點，∠A，∠B，∠C所對的邊的邊長分別是a，b，c，則O是△ABC的內心的充要條件是aOA+bOB+cOC=0.

證明 必要性.若O是△ABC的內心，延長AO交BC于D.如圖5，由三角形內角平分線的性質定理，得

AOOD=ABBD=ACCD=b+ca.

于是aOA+(b+c)OD=0，

再由BDDC=cb，有OD=bb+cOB+cb+cOC（定比分點），代入前式中，便有aOA+bOB+cOC=0.反之，若點I滿足aIA+bIB+cIC=0，則aIA+bIB+cIC=0與aOA+bOB+cOC=0相減，可得(a+b+c)IO=0.于是IO=0，從而I與O重合，即I為△ABC的內心.

5.旁 心

結論5 點O是△ABC的∠A的旁心的充要條件是aOA=bOB+cOC；∠B的旁心的充要條件是bOB=aOA+cOC.其證明與結論4的證明相仿（唯一的區別是結論4中OA與OD方向相反而結論5中O為∠A的旁心時OA與OD方向相同）.

二、四面體的五“心”向量形式的充要條件

1.外 心

結論1 O是四面體PABC的外心的充要條件是OP2=OA2=OB2=OC2.

證明 由向量數量積的運算性質，可得a2=|a|2.

∴OP2=OA2=OB2=OC2

|OP2|=|OA2|=|OB2|=|OC2|

|OP|=|OA|=|OB|=|OC|

O是四面體PABC的外心.

2.重 心

結論2 O是四面體PABC的重心的充要條件是OP+OA+OB+OC=0.

證明 作以四面體PABC的外心I為原點的坐標系，如圖8，并設O(x，y，z)，P(x1，y1，z1)，A(x2，y2，z2)，B(x3，y3，z3)，C(x4，y4，z4).

必要性.若O是四面體PABC的重心，則

x=14∑4i=1xi，y=14∑4i=1yi，

z=14∑4i=1zi，

則OP+OA+OB+OC

=∑4i=1xi-14∑4i=1xi，∑4i=1yi-14∑4i=1yi，

∑4i=1zi-14∑4i=1zi，

而∑4i=1xi-14∑4i=1xi=∑4i=1xi-4×14∑4i=1xi=0，

同理可得∑4i=1yi-14∑4i=1yi=0，

∑4i=1zi-14∑4i=1zi=0，

∴OP+OA+OB+OC=0.

充分性.若OP+OA+OB+OC=0，則

4x-∑4i=1xi=0，4y-∑4i=1yi=0，4z-∑4i=1zi=0，

即x=14∑4i=1xi，y=14∑4i=1yi，z=14∑4i=1zi.

則O是四面體PABC的重心.

3.垂 心

結論3 如圖9，O是四面體PABC的垂心的充要條件是OP#8226;OA=OP#8226;OB=OP#8226;OC=OB#8226;OA=OC#8226;OB=OA#8226;OC.

證明 充分性.

∵OP#8226;OA=OP#8226;OB，

∴OP#8226;（OA-OB）=0.

∴OP#8226;AB=0，∴OP⊥AB.

同理可得OP⊥CB，則OP⊥面ABC.

同理可得OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP，

∴O是四面體PABC的垂心.

必要性.若O是四面體PABC的垂心，則OP⊥面ABC，OA⊥面PBC，OB⊥面APC，OC⊥面ABP.

則OP⊥AB，∴OP#8226;AB=0.

即OP#8226;（OA-OB）=0，即OP#8226;OA=OP#8226;OB.

同理可得OP#8226;OB=OP#8226;OC，

OP#8226;OA=OA#8226;OB，OC#8226;OA=OC#8226;OB.

∴OP#8226;OA=OP#8226;OB=OP#8226;OC

=OB#8226;OA=OC#8226;OB=OA#8226;OC.

4.內 心

結論4 如圖10，O是四面體PABC的內一點，分別連接PO，AO，BO，CO并分別延長與對面交于O1，O2，O3，O4，則O是四面體PABC的內心的充要條件是|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.

證明必要性.若O是四面體PABC的內心，設O到各面的距離是R，P到面ABC的高、A到面PBC的高、B到面PAC的高、C到面PAB的高分別為H1，H2，H3，H4，則

|PO1||OO1|=H1R，|AO2||OO2|=H2R，|BO3||OO3|=H3R，|CO4||OO4|=H4R，

∴|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|=H1 ∶ H2 ∶ H3 ∶ H4.

∵H1S△ABC=H2S△PBC=H3S△PAC=H4S△PAB，

|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|

=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP.

充分性.設O到各面的距離分別是r1，r2，r3，r4，則由必要性的逆推可知

|PO1||OO1|=H1r1，|AO2||OO2|=H2r2，|BO3||OO3|=H3r3，|CO4||OO4|=H4r4，

而|PO1||OO1| ∶ |AO2||OO2| ∶ |BO3||OO3| ∶ |CO4||OO4|

=1S△ABC ∶ 1S△PBC ∶ 1S△ACP ∶ 1S△ABP，

∴r1∶ r2∶ r3∶ r4=H1S△ABC∶ H2S△PBC∶ H3S△ACP∶ H4S△ABP

=1 ∶1 ∶1 ∶1，

∴O為四面體PABC的內心.

5.棱 心

結論5 如圖11，設BC=a，AC=b，AB=c，PA=d，PB=e，PC=f，O是四面體PABC內一點，分別作OO1⊥面ABC于O1，OO2⊥面PBC于O2，OO3⊥面APC于O3，OO4⊥面PAB于O4，則O是四面體PABC的棱心的充要條件是aO1A+bO1B+cO1C=0，eO2C+fO2B+aO2P=0，bO3P+dO3C+fO3A=0，cO4P+dO4B+eO4A=0.

證明 充分性.由前面三角形的內心向量形式的充要條件可知O1，O2，O3，O4分別是△ABC， △PBC， △PAC， △PAB的內心，由射影定理得O到各條棱的距離相等，所以O是四面體PABC的棱心.

必要性顯然可得.

【參考文獻】

［1］楊之.初等數學研究論文選［Ｍ］.上海：上海教育出版社，1992:489-500.

［2］趙加營.三角形五“心”向量的充要條件［J］.數學通訊，2002（11）:36-38.

［3］李運興.四面體的重心定理及其證明［J］.中學數學教學參考，1992（1-2）：36.

［4］幾何學辭典［O］.上海：上海教育出版社.

［5］段惠民.四面體的外四號心及其作用［J］.數學通訊，2003（6）.