從一堂數學課看自主•合作•探究學習

隨著科學技術的高速發展和信息時代的到來，中學數學教育的重心從知識為主的“雙基”目標拓展到以培養學生“學習能力”為主的“能力”目標和情感目標.圍繞著“如何促進學生主動學習，發展創新能力”，新的課程標準要求：讓學生會利用所學知識解決簡單的實際問題，而初三的函數學習是比較抽象的，學生總感到難以理解.本節課要求學生會求出自變量x的取值范圍，能根據實例敘述的內容列出函數關系，并確定自變量取值.一般地，展開數學活動要依靠例題，所選的例題體現出教師的認識水平，可見設計題目十分重要.所以這節課沒有完全照搬書上的例題，而是根據具體情況設計了一種新的教學方案.

一、教學前期設計思路

1.創建學習活動情境

我針對教學對象、教學內容、教學目標、教學手段以及自己的教學背景進行綜合考慮，精心規劃和安排，創建出適合自己學生開展主體性學習的活動情境.比如引例的作用，不僅拉近了聽課教師與學生的距離，創設了數學意境，而且舒緩了學生緊張的心情，便于學生從容活動，自然發揮.

2.組織學習活動

在創建的學習活動情境中，以數學知識為載體，充分調動學生的自主性、能動性和創造性，并促進學生主體性的和諧發展.它的組織形式仍是“課堂”，但“課堂”的本質發生了重大的變革，要重視學生的“最近發展區”和課程內容整合，課程內容的掌握仍是重要的，但課程內容掌握本身不再是教學的目的，而是成為構建學習主體的手段.在課堂活動中的學習情境要根據“學情”在不斷地發展和變化，不能固定化和模式化.比如例題，設計了六道小題代表解析式的四種類型：整式型、分式型、二次根式型、分式和二次根式的綜合型，并且引導學生根據例題來編題.通過大量的練習培養學生的直覺、感覺和解題思路，形成良好的知識結構感和歸納能力.

要注意：

(1)“課堂”是以活動為中心，由學生自主地開展嘗試、探究、交流、協作等活動，并在活動中不斷地學習和創新.

(2)在“課堂”活動中，教師不是旁觀者，也不僅僅是組織者和指導者，同樣是活動中的主體，在活動中教師要不斷地學習、“完善自我”和創新.

(3)“課堂”重視交流活動，由于學生的學習背景不同，知識的來源也是多渠道的，提出問題、解決問題的角度不同，通過交流互相促進、共同提高.

二、教學設計環節

（教師講解）引例→（學生講解）教師編題→（學生講解）學生編題→（師生共同研究）（小組討論）提問→（教師歸納）小結.

教學目標：

（1）進一步理解函數的概念，能從簡單的實際事例中，抽象出函數關系，列出函數解析式.

（2）使學生掌握解析式為只含有一個自變量的簡單整式、分式、二次根式的函數自變量的取值范圍的求法.

（3）通過函數的教學使學生體會到事物是相互聯系的，是有規律地運動變化著的.

教學重點：了解函數的意義，會求自變量的取值范圍及求函數值.

教學難點：函數概念的抽象性.

教學過程：

1.引入新課

教師：上一節課我們講了函數的概念（一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x，y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數），生活中有很多實例反映了函數關系，比如現在我們的課堂上就有一種函數關系（全班學生用好奇的目光注視著教師）：（看屏幕）

若全班（加班主任）共54人，來聽課的老師為n人，則教室里的人數為m人，寫出m與n的函數關系式.

學生很快地回答道：m=54+n，m是函數，n是自變量.

教師：那么此時此地自變量n等于多少？函數m的值是多少？自變量n的取值范圍是多少？

（本節課是一節校級公開課，來聽課的老師較多）

學生紛紛環視四周，數出聽課教師人數，聽課教師也和學生相互討論起來，共同得出n=23，進而求出m=71；但是在求n的取值范圍時出現問題，許多同學只說n>0而沒有想到n應該為自然數.（這就是實際問題的特點，要引導學生注意自變量取整數）

教師：可見在某些函數關系式中，自變量的取值范圍有時是有限制的，今天我們就來研究一下相關知識.

2.講授新課

教師：剛才引例中的函數，要考慮到自變量的取值必須使解析式有意義，所以n必須是正整數或0.（簡單解釋一下解析式就是數學式子即可）我們來看下面的例題，請分小組討論，然后我找學生上黑板來講解.

例 求下列函數中自變量x的取值范圍.（學生分組合作，積極地展開討論）

（1）y=2x+3；（2）y=1x-1；（3）y=1x2-x-2；

（4）y=x-2；（5）y=12x-5；（6）y=x+1x-2.

學生1講課：在（1）中，x取任意實數，2x+3有意義.

（2）小題的1x-1是一個分式，分式成立的條件是分母不為0.這道題的分母是x-1，因此要求x-1≠0，所以x≠1.

學生2：（3）小題的1x2-x-2也是分式，分式成立的條件是分母不為0，這道題的分母是x2-x-2，先從x2-x-2=0，得x=2，x=-1，因此要求x=2或x=-1.

學生3：我認為是x2-x-2≠0，所以x≠2且x≠-1.（大多數學生同意這種答案）

教師：像第（3）小題，有些同學犯這樣的錯誤，將答案寫成x≠2或x≠-1.在解一元二次方程時，方程的兩根用“或者”聯接，但在不等式中應說明x≠2與x≠-1是并且的關系，即2與-1這兩個值x都不能取.

學生4：第（4）小題x-2是二次根式，二次根式成立的條件是被開方數大于等于零.x-2的被開方數是x-2，所以x-2≥0，x≥2.

學生5：第(5)小題y=12x-5是二次根式，2x-5是被開方數，所以2x-5≥0，2x≥5，x≥52.但是y=12x-5也是分式，所以2x-5≠0，x≠52.結論為x>52.（教師點頭表示贊許）

學生6：y=x+1x-2中，x≥-1且x≠2.

（師生之間互相交流對話，在融洽的氣氛中學習）

注意：有些同學沒有真正理解解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零，片面地認為，凡是分母，只要x≠0即可.可將解題步驟設計得細致一些.先提問本題的分母是什么，然后再要求分式的分母不為零，求出使函數成立的自變量的取值范圍.二次根式的問題也類似.

教師：請同學們模仿例1編出類似但是又容易出錯的題目來挑戰其他組.

(學生活動再一次出現高潮)

學生分小組編題如下：

第（1）組y=1(x-8)x-2.答案：x>2且x≠8.

該組有學生反問一句：x-8改為x-1又如何？答案：x>2.

（這一問非常好，加深了大家對“且x≠8”的理解）

第（2）組m=1n2-2n+1.答案：n≠1.

（可見學生對函數和自變量可以用任意字母表示是清楚的，不一定要用y和x）

第（3）組y=x2-4x.答案：x>0.

第（4）組y=3xx-1.答案：x≠1.（學生能聯想到三次根號）

第（5）組y-3=xx-3.（學生知道等號左側不一定只能是y）

教師引導學生小結從做題中得到的規律：

（1）函數的解析式是整式時，自變量可取全體實數.

（2）函數的解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零.

（3）函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數大于等于零.

（4）函數的解析式是分式和二次根式的綜合時，自變量的取值應使分母不為零，且被開方數大于等于零.

（5）函數是實際問題時，自變量的取值應使解析式有實際意義.

（編題是教師先編，學生后編，這樣為學生發揮想象力搭建了平臺）

教師：我們來上學時，將自行車放在校外保管站里，那大家想過收費問題嗎？

例2 前所中學自行車委托陽春公司保管站管理，在某個星期一保管的自行車共有1500輛次，其中變速車保管費是每輛一次0.2元，一般車保管費是每輛一次0.1元.

（1）若設一般車停放的輛數為x，總的保管費收入為y元，試寫出y關于x的函數關系式并求出自變量x的取值范圍.

（2）若估計前來停放的1500輛自行車中，變速車的輛次不小于25%，但不大于40%，試求該保管站這個星期一收入保管費總數的范圍.

（第一問學生基本可以回答上來，第二問就產生很大爭議，因為這是由函數求值問題轉化為不等式求解集問題，這對初中學生而言是有難度的.）

解 （1）y=0.1x+0.3(1500-x)，

∴y=-0.2x+450（x是整數，0≤x≤1500）.

（2）若變速車的輛次不小于25%，但不大于40%，

則1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%).

方法一 ymax=-0.2×1500(1-40%)+450=270，

ymin=-0.2×1500(1-25%)+450=125.

收入在125元至270元之間.（但此方法有局限性，只對單調性函數適用）

方法二 1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%)，

180≤0.2x≤225，

-180≥-0.2x≥-225（注意不等號方向的改變），

450-180≥450-0.2x≥450-225，

125≤y≤270，收入在125元至270元之間.

總結 對于反映實際問題的函數關系，應使得實際問題有意義.這樣，就要求聯系實際，具體問題具體分析.（由于時間的限制，只研究了方法一）

（三）小 結

在研究函數關系時首先要考慮自變量的取值范圍，因此，要求大家能掌握解析式含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量取值范圍的求法，并能求出其相應的函數值.另外，對于反映實際問題的函數關系，要具體問題具體分析.

作業：1.見作業；2.預習.

板書設計：

函數的自變量取值范圍

例1 學生編題例2

規律：小結：

評課過程：（略）.

總之，教師的教是為了最后的不教，學生的發展在很大程度上取決于主體意識的形成和主動參與能力的培養.數學教學從本質上來說是一種數學活動，通過活動讓學生學習自行獲取數學知識的方法，學習主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學基礎能力和創造才能.因此，培養學生的主體意識和主動參與精神是課堂教學目標之一.由于將來的社會是非常注重合作與團隊精神的社會，而自主合作學習恰好培養了學生的集體觀念和合作意識，使他們適應于時代的要求，這節課學生的主體性活動得到充分地展示，同學之間進行了有效交往，學生之間既有競爭又有合作，保持和諧正常的同伴關系，相互促進，共同發展，有利于他們的社會化.所以應在初中數學課堂上大力推廣自主合作性學習.