“幾何畫板”在概念生成教學中的應用

在一線的教學中，我們發現數學課程標準中對概念教學的要求是強調概念的生成過程及其過程中所反映的數學思想方法的體現.

目前表現在概念教學中有兩個誤區：

一、重結果輕過程

目前很多數學課堂中概念教學的模式:第一，教師提出三個問題：1.請大家讀懂概念并記住；2.概念中的關鍵詞是什么；3.在應用概念解決問題時的注意點是什么等；第二，請學生閱讀課本相關內容；第三，教師學生一起回答問題；第四，講解例題辨析概念和應用概念.這樣的概念教學：一是忽略有關概念的生成過程，普遍的做法是“一個定義，兩項注意，三個關鍵詞，四條例題”；二是在學生還沒有基本理解的時候就要求學生進行概念的綜合應用.利用這種方式雖然可以節約時間，學生在短期內可以“死記硬背”概念，機械地去模仿解題，但隨著時間的推移，學生會將概念忘記，很多時候學生是“知其然而不知其所以然”.事實上概念教學的核心是“概括”：將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型具體事例、背影為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括出共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念.概念教學要強調讓學生經歷概念的概括過程.由于“數學能力就是以數學概括為基礎的能力”，因此，重視數學概念的概括過程對發展學生的數學能力起著關鍵作用.

二、重抽象輕直觀

雖然我們部分教師也明白要“重過程，重概括”，但往往不知怎么操作.因為我們的教學方法和教學手段往往不便于概括數學中某些抽象的概念，揭示數量之間的內在聯系，特別是展現關于幾何圖形之間空間關系或函數圖像的變化等過程就特別受到限制，學生往往只能憑想象來理解，這就使想象力較差的學生在學習上遇到了困難，產生了畏難情緒，同時對這部分內容也失去了興趣.如何才能避免上述這兩種情況的發生呢？

“幾何畫板”是以點、線、圓等基本圖形工具為基礎，能快速準確地繪制各種圖形，能實現各種圖形變換，精確地算出線段的長度、角的大小和點的坐標等，通過參數和按鈕設置能動態改變和控制圖形、繪制各種圖像和曲線圖像、實現動畫效果、有較強的交互功能.“幾何畫板”為我們提供了一個數學實驗室，提供了一個十分理想的“做”數學的環境，學生可以從畫面中去發現問題，尋求解決問題的方法和依據，并認識問題的本質.另外，其豐富的測算和參數設置功能使得對問題的觀察、實驗、歸納成為現實，是一種不可多得的工具.幾何畫板中的文檔選項也為我們制作課件提供了非常方便的軟件工具.“幾何畫板”簡單易學，學生只需要短暫的培訓就可以畫出圖像，制作小課件，具有動態直觀、數形結合、變化無窮的特點，能激發學生學習的興趣，培養動手能力.

通過實踐筆者發現應用幾何畫板可以很好地展現許多概念的生成過程，將抽象問題直觀化，在學生動手動腦的過程中暴露數學思維過程，再現科學家的探究思路，培養學生探究的習慣.筆者現就概念教學應該經歷的幾個基本環節談談體會.

1.數學概念背影的引入

數學概念背影的引入中，我們往往可以從形出發引入，從學生能直觀感知的模型、圖像入手.但傳統教學中多以教師手工繪圖為主，手工繪圖往往不精確，而且速度慢，畫出的圖是靜態的.事實上很多背影如果是動態的圖形，往往能表現變化過程，揭示變化過程中的本質屬性.如“正弦定理”的引入，為了探索三角形的邊角關系，首先通過對直角三角形邊角關系的歸納，得出直角三角形中的邊長與角度的一種關系：asinA=bsinB=csinC，并提出問題：對任意三角形也成立嗎？接著進行驗證，然后作出猜想.這樣處理有利于培養學生的歸納、猜想能力.但在平時的教學中，往往不少老師都是直接告訴學生這個結論對于任意三角形也是成立的，然后直接證明，這樣做其實讓學生失去了一次探究猜想的機會.在這里借用幾何畫板演示是非常恰當的，如圖1，拖動點A，改變三角形的邊角，而邊與對應角的正弦值之比是相等的.

2.通過典型、豐富的具體例證（必要時要讓學生自己舉例），引導學生開展分析、比較、綜合的活動

在概念的教學中，我們往往都是從具體的問題或具體的例子中去引導學生分析思考，然后再概括出概念的本質屬性.如“棱臺”定義和性質的教學，我們往往借用模型，通過“模型”和“圖形”的聯系，加深對幾何體的概念和性質的理解，但“模型”和“圖形”的教學方法仍不能直觀明了地向學生展示棱臺的性質，若能通過“幾何畫板”在前面得到的三棱錐的基礎上，用平行于棱錐底面的平面截棱錐，移動上面的小棱錐實現對棱錐的拆分得到棱臺，還可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生直觀掌握棱臺的定義，并結合棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質類比得出棱臺的性質.

3.從情景中逐步抽象、概括共同本質特征得到概念的本質屬性，形成數學概念（用準確的數學語言、字母、數學符號表達）

新課程標準要求要從具體例子和實際問題中逐步概括出所有例子的共同的本質屬性，逐步抽象出概念.在我們的實際教學中往往是通過一個靜態的例子，要求學生直接概括出定義，絕大部分學生會說出概念的，但這往往是學生課前已經預習了課本，死記硬背的結果，其實不是學生自己感悟出來的.若借用幾何畫板的動畫功能，就會真正達到新課程標準的要求.如，在學習“函數的奇偶性”時，在日常生活中，可以觀察到許多對稱現象：美麗的蝴蝶、盛開的花朵、六角形的雪花等，這些對稱的性質怎樣來表達呢？引導學生從實際問題中的對稱性過渡到函數圖像的對稱性.通過觀察函數f(x)=x2和f(x)=-1x(x≠0)的圖像，可以發現f(x)=x2的圖像關于y軸對稱，而f(x)=-1x(x≠0)的圖像關于原點對稱.那么怎樣用數量關系來刻畫圖像的這種對稱性？此時可以通過幾何畫板的參數功能，將x設置為參數，拖動x，即x取任何一個值時，圖像總存在一個相反的數，它們的函數值相等.這樣揭示了函數的奇偶性的本質屬性，學生更容易理解函數奇偶性的定義及其定義中x取值的任意性和正負的對稱性.

4.概念的辨析，即以實例（正例、反例）為載體，引導學生分析關鍵詞的含義，包括對概念中特例的考查

在我們的教學中，有些概念的條件和結論是比較抽象的，不通過具體例子演示學生較難理解，學生一般只能根據課本中語言文字去記憶，這樣學生容易忘記，此時更需要我們教師在教學中從形的角度進行直觀展示，激發學生的興趣，加深學生的記憶和理解.如“橢圓的定義”，可以由“到兩定點D，D′的距離之和為定值的點的軌跡”入手，如圖2，取線段BC的長為“定值”，在線段BC上取一點A，分別以D為圓心、AB的長為半徑和以D′為圓心、AC的長為半徑作兩圓，使兩圓相交，即DD′BC時，兩圓無交點，如圖3，即軌跡不存在.經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，會注意定義中的條件（到兩定點D，D′的距離之和大于兩定點間距離DD′的長），同時也鍛煉了其思維的嚴密性.

再如，在建立指數函數y=ax(0

綜上所述，在概念生成教學中使用“幾何畫板”進行數學教學，通過具體直觀的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學概念作為單純的知識去死記硬背，而是能夠真正理解概念的本質屬性，掌握概念的內涵和外延.

【參考文獻】

［1］章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考，2010(5).

［2］章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考，2010(3).