例析向量在解題中的應(yīng)用

【摘要】平面向量是高中新教材的重要內(nèi)容，它既反映了現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，從而將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來.利用向量法解某些數(shù)學(xué)問題，往往可以收到化繁為簡、化難為易和綜合應(yīng)用的效果，并且能拓寬學(xué)生的解題思路，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和熱情.

【關(guān)鍵詞】向量；解題；應(yīng)用

平面向量是高中新教材的重要內(nèi)容，它既反映了現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，從而將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來.因此以平面向量的相關(guān)知識為載體，以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想方法為主線，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計創(chuàng)新力度較大、綜合性較強(qiáng)的試題，已成為近幾年高考和各地模擬命題的新熱點.試題有效地溝通了知識間的橫向聯(lián)系，有助于知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，有力地考查了學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素質(zhì).

利用向量法解題在近幾年的高考試題中已多次出現(xiàn)，向量法解題將成為使用試驗新教材地區(qū)高考命題的一個新的熱點，同時向量法解題也是高中幾何改革的根本出路.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也提出:“應(yīng)當(dāng)綜合法和向量法并重，以向量法為主.”下面就對用向量法解題作一些探討.

一、利用向量解決不等式的有關(guān)問題

向量是一個幾何量，是一個具有“形”的量，因此，我們可以從圖形中的三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊的不等關(guān)系得到啟發(fā)，在不等式的證明過程中運(yùn)用向量中的不等性質(zhì)，使量的關(guān)系變?yōu)閹缀涡蝸碛懻摚覀儗杏X到直觀而生動.

例1 設(shè)ai，bi∈R(i=1，2)，求證：(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).

分析 本題是著名的柯西不等式之一，用常規(guī)方法證明，過程冗長，但用向量法證明其優(yōu)勢可見.

證明 設(shè)x=(a1，a2)，y=(b1，b2)，由|x#8226;y|≤|x|#8226;|y|，得|a1b1+a2b2|≤a21+a22#8226;b21+b22.

∴(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).

二、利用向量解決函數(shù)的有關(guān)問題

例2 求函數(shù)y=x2-6x+153-x2+10x+61的最大值.

分析 將y=x2-6x+153-x2+10x+61配方，得

y=(x-3)2+122-(x+5)2+62.

聯(lián)想向量，設(shè)a=(x-3，12)，b=(x+5，6)，此題妙在|a-b|=10為一個常數(shù)，只需利用|a|-|b|≤|a-b|很快就能達(dá)到目的.

解 y=x2-6x+153-x2+10x+61

=(x-3)2+122-(x+5)2+62.

設(shè)a=(x-3，12)，b=(x+5，6)，則|a-b|=10，

|a|-|b|≤|a-b|=10，即|a|-|b|≤10.

當(dāng)a與b的方向相同時，取“=”號，即6(x-3)=12(x+5).

∴x=-13時，y有最大值為10.

點評 一般地，若被開方數(shù)是一個平方和的形式，可將該數(shù)或式看成某個向量的模，再結(jié)合平面向量的性質(zhì)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，它能幫你降“妖”除“魔”，求出函數(shù)的最大值或最小值.

三、利用向量解決解析幾何的有關(guān)問題

平面向量是較簡單的內(nèi)容，它用于解決平面解析幾何問題有較大優(yōu)勢，特別是將一元二次方程的韋達(dá)定理、方程組的解及向量的數(shù)量積有機(jī)地結(jié)合起來，其優(yōu)勢更加明顯.現(xiàn)在我們以某市高中畢業(yè)會考試題為例，來學(xué)習(xí)討論這一問題.

例3 如圖所示，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B，求∠AOB的大小.

解 由y=x-2，

y2=2x，得y2-2y-4=0.

即y1+y2=2，

y1#8226;y2=-4，

且x1=y1+2，x2=y2+2.

∵cos∠AOB=OA#8226;OB|OA|#8226;|OB|，OA#8226;OB=x1x2+y1y2，

其中x1x2=(y1+2)(y2+2)=4，

∴OA#8226;OB=x1x2+y1y2=0，即OA⊥OB，∴∠AOB=90°.

向量是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，它既有良好的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，也有明顯的幾何意義，因此，在圓錐曲線問題中，常以向量的角度來表示幾何量的關(guān)系和性質(zhì).利用向量來解決圓錐曲線問題，是近幾年的高考題中的一個熱點.

四、利用向量解決幾何的有關(guān)問題

向量既能體現(xiàn)“形”的直觀的位置特征，又具有“數(shù)”的良好的運(yùn)算性質(zhì)，所以它是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的重要橋梁.它的主要價值體現(xiàn)在幾何中，使得在解決幾何問題時，可以減少繁瑣困難的邏輯推理過程.因此，用向量法解數(shù)學(xué)題，往往可以收到化繁為簡、化難為易和綜合應(yīng)用的效果.然而，現(xiàn)行的高中教材中向量部分的內(nèi)容，僅限于介紹向量的一些基本概念和基本運(yùn)算，而對用向量來解決數(shù)學(xué)問題則很少涉及.以下就有關(guān)問題給出向量解法.

例4 如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PECF是矩形，用向量法證明：(1)PA=EF；(2)PA⊥EF.

分析 建立坐標(biāo)系引入坐標(biāo)是關(guān)鍵.

證明 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，|DP|=λ.

則A(0，1)，P22λ，22λ，E1，22λ，F(xiàn)22λ，0，

∴PA=-22λ，1-22λ，EF=22λ-1，-22λ.

(1)∵|PA|2=-22λ2+1-22λ2=λ2-2λ+1，

|EF|2=22λ-12+-22λ2=λ2-2λ+1，

∴|PA|2=|EF|2，故PA=EF.

（2）∵PA#8226;EF

=-22λ22λ-1+1-22λ-22λ=0，

∴AP⊥EF，即PA⊥EF.

點評 通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，賦予幾何圖形有關(guān)點與向量的坐標(biāo)，將有關(guān)幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

總之，在有些數(shù)學(xué)問題的解決中，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用向量工具不僅有助于問題的解決，而且有時還較傳統(tǒng)的方法更簡捷、更方便，更重要的是這樣做還能使學(xué)生從不同的角度揭示各種知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓寬其解題思路，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情.