幾類(lèi)寓數(shù)于形解題探析

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合給解題帶來(lái)很多意想不到的方便，下面就幾類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行討論.

1.與距離有關(guān)的問(wèn)題

例1 求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值.

分析 可看成求兩動(dòng)點(diǎn)P（cosθ，sinθ）與Q（cosα-3，sinα+2）之間距離的最值問(wèn)題.

解 兩動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，轉(zhuǎn)化為求兩曲線上兩點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題，如圖.

|PQ|max=|CB|=2+13，

|PQ|min=|AD|=13-2.

2.與截距有關(guān)的問(wèn)題

例2 若直線y=x+k與曲線x=1-y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

解 曲線x=1-y2是單位圓x2+y2=1的右半圓（x≥0），k是直線y=x+k在y軸上的截距.

由數(shù)形結(jié)合知：直線與曲線相切時(shí)，k=-2，由圖形，可得k=-2，或-1

3.與定義有關(guān)的問(wèn)題

例3 求拋物線y2=4x上到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求這個(gè)最小值.

分析 要求PA+PF的最小值，可利用拋物線的定義，把PF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，化曲為直，從而借助數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問(wèn)題.

解 P′是拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，過(guò)P′作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，連P′F（F為拋物線的焦點(diǎn)），由拋物線的定義可知，|P′F|=|P′D|，|P′A|+|P′F|=|P′A|+|P′D|.過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線，交拋物線于P，垂足為Q，顯然，直線AQ之長(zhǎng)小于折線AP′D之長(zhǎng)，因而所求的點(diǎn)P即為AQ與拋物線交點(diǎn).

∵直線AQ平行于x軸，且過(guò)A（3，2），

∴方程為y=2，代入y2=4x，得x=1.

∴P（1，2）與F，A的距離之和最小，最小距離為4.

評(píng)注 （1）化曲線為直線是求距離之和最有效的方法，在橢圓、雙曲線中也有類(lèi)似問(wèn)題.

（2）若點(diǎn)A在拋物線外，則點(diǎn)P即為AF與拋物線交點(diǎn)（內(nèi)分AF）.

4.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解三角函數(shù)題

例4 函數(shù)f（x）=|sinx|+2sinx，x∈［0，2π］的圖像與直線y=k有且僅有２個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是

分析 本題根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出圖像，可以直觀而簡(jiǎn)明地得出答案，在有時(shí)間限制的高考中就能大大地節(jié)約時(shí)間，提高考試的效率.

解 函數(shù)f（x）=3sinx，(0，π］，

-sinx，x∈(π，2π］，

由圖像可知，1

5.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解復(fù)數(shù)題

例5 設(shè)|z1|=5，|z2|=2，|z1-z2|=13，求z1z2的值.

分析 利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解.

解 如圖，設(shè)z1=OA，z2=OB，則z1=OC，z2=OD.

由圖可知：z1z2=52，

∠AOD=∠BOC.

由余弦定理，得

cos∠AOD=52+22-(13)22×5×2=45.

∴z1z2=5245±35i=2±32i.

另解 設(shè)z1=OA，z2=OD，如圖所示.

則z1z2=52，且

cos∠AOD=52+22-(13)22×5×2=45，sin∠AOD=±35，

∴z1z2= 5245±35i=2±32i.

即z1z2=2±32i.

評(píng)注 本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑.一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解.