圓錐曲線統一定義的考點例析

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，在高考中占有較大比例，圓錐曲線是歷屆高考的熱點，也是高考的難點，它主要有效考查學生的應變能力和解決問題的靈活程度.圓錐曲線中的統一定義（拋物線的定義、雙曲線及橢圓的第二定義）是考查的重點對象，本文結合例題進行如下剖析：

例1 已知雙曲線x29-y216=1的左焦點為F1，點A(9，2)不在曲線上，M是這個曲線上任一點，則|MA|+35|MF1|的最小值為

思路點撥 求|MA|+35|MF1|的最小值，35為雙曲線離心率的倒數，則可利用雙曲線的第二定義求解.

解析 設點M到左準線的距離為d，過A點作平行于x軸的直線交左準線于D，則|MA|+35|MF1|=|MA|+d≥|AD|=545，所以|MA|+35|MF1|的最小值為545.

反思 在圓錐曲線中，求形如|MA|+35|MF|（其中M為圓錐曲線上任一點，A點為平面內任一點，F為焦點）的最小值時，可利用|MF|d=e|MF|e=d，將式子轉化為|MA|+d求解.

例2 設AB是過橢圓焦點F的弦，則以AB為直徑的圓與F所對應的準線l的位置關系是().

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

思路點撥 此題主要考查弦的中點到相應準線的距離與半徑的關系，通過橢圓的第二定義求解.

解析 設弦AB的中點為M，A，B，M在相應準線的投影為A′，B′，M′，r=|AB|2，則|MM′|=|AA′|+|BB′|2=|AF|e+|BF|e2=|AB|2e=re.又0

反思 在圓錐曲線中，若過焦點F的弦為AB，M為|AB|的中點，點F所對應的準線為l，則M到l的距離為re（其中e為離心率，r=|AB|2）.

①當0

②當e=1時，以AB為直徑的圓與l相切；

③當e>1時，以AB為直徑的圓與l相交.

例3 已知橢圓C：x29+y25=1(x>0)，F1，F2為其兩個焦點，問：能否在橢圓C上找到一點P，使P到右準線的距離|PN|是|PF1|和|PF2|的等比中項？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

思路點撥 用橢圓焦半徑公式及x的取值范圍求解.

解析 由方程知e=23，假設存在點M(x0，y0)滿足要求，即x209+y205=1且x0>0，有d2=|PF1|#8226;|PF2|（d為M有到右準線的距離）.

又 x0∈(0，3］，|PF1|=a+ex0=3+23x0，

|PF2|=a-ex0=3-23x0，

于是92-x02=9-49x20，x0=92或x0=4526.

由4526∈(0，3］，把x0=4526代入x209+y205=1，得y0=±6513.

故滿足條件P的坐標為4526，±6513.

反思 在圓錐曲線中，點的存在性問題、焦半徑問題均可利用焦半徑轉化求解.