巧妙設計數學開放題 培養創新意識和能力

一、條件開放

也就是說一道題中有部分條件不給出，讓學生嚴密推理，大膽質疑，補出解決問題的必要條件.

例1 已知二次函數y=x2+bx+c的圖像過點A(c，0)……求證這個二次函數的圖像關于直線x=2對稱.其中省略號部分是一段被墨水染污了無法辨認的文字.

（1）根據現有信息，你認為題中的二次函數可能具有哪些性質；

（2）請你把這道題補充完整.

分析與解題思路

（1）首先，要使其圖像對稱軸為x=2，必須-b2=2，即b=-4.其次，由已知，得c2+bc+c=0，c(c+b+1)=0，∴c=0或c+b+1=0.聯系到b=-4，這個二次函數的解析式可能是：y=x2-4x或y=x2-4x+3.如果函數解析式為y=x2-4x，那么可得以下性質：

①b=-4，c=0;②圖像經過原點；③Δ=16＞0；④與x軸的兩個交點分別為（0，0），（4，0）；⑤與x軸的兩個交點之間的距離為4；⑥最小值為-4；⑦頂點坐標為（2，-4）.如果函數解析式為y=x2-4x+3，可得以下性質：①b=-4，c=3；②與y軸的交點為（0，3）；③Δ=4＞0；④與x軸的兩個交點分別為（1，0），（3，0）；⑤與x軸的兩個交點之間的距離為2；⑥最小值為-1；⑦頂點坐標為（2，-1）.

本題的答案很多，以上只是一些比較容易想到的答案.如果你有興趣，也可以寫出一些其他的答案.

（2）可能有的人認為，只要將以上隨便哪個性質補在省略號的地方就可以了.但問題并非如此簡單，我們必須注意補上的條件能否保證“圖像關于直線x=2對稱”這一結論；同時也應注意條件是否太多，畫蛇添足總不好.

如：如果將“Δ=16”這個條件補上，并不能證明其圖像對稱軸為x=2，也可能是x=-1或x=3.

又如：如果將“b=-4，c=3”這個條件補上，那么原有條件“圖像過點A(c，0)”就變得可有可無了，而且此時這道題也因為極其簡單而變得毫無挑戰性.

二、結論開放

也就是說題目的結論不給出，讓學生通過分析已知條件，從而得出結論.

例2 如圖1，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，F為BC的中點，P是BF上的一點，過點P作BC的垂線交AB于D，交CA的延長線于E，設BP=x，問：圖中哪些量可以看成x的函數？試盡可能多地寫出，并寫出函數關系式.

分析與解題思路

至少有以下一些量可以看成是x的函數：

（1）PC=6-x（0≤x≤3）；

（2）PF=3-x（0≤x≤3）；

（3）DP=43x（0≤x≤3）；

（4）BD=53x（0≤x≤3）；

（5）AD=5-53x（0≤x≤3）；

（6）EC=10-53x（0≤x≤3）；

（7）EP=8-43x（0≤x≤3）；

（8）ED=8-83x（0≤x≤3）；

（9）△BPD的面積=23x2（0≤x≤3）；

（10）△DAE的面積=43(3-x)2（0≤x≤3）；

（11）△CPE的面積=23(6-x)2（0≤x≤3）；

（12）四邊形PCAD的面積=12-23x2（0≤x≤3）；

（13）凹四邊形BCED的面積=24-8x+43x2（0≤x≤3）.

三、解法的開放性

數學知識其實是一個開放的體系，相關的知識從不同的角度發生不同的聯系，構建成一個嚴密的知識網絡.

例3 試盡可能多地運用各種方法證明“三角形內角平分線的性質”：設AD是△ABC的內角A的平分線，則BDDC=ABAC.

分析與解題思路

以下給出幾種證法的簡要提示：

（1）如圖（1），過C作CE∥AB，交AD延長線于E，可證△ABD∽△ECD及AC=EC，從而得BDDC=ABEC=ABAC；

（2）如圖（1），以C為圓心，CA為半徑畫弧交AD延長線于E，可證CE∥AB，從而與（1）同；

（3）如圖（2），過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，可證△ABD∽△EBC及AE=AC，從而得BDDC=ABAE=ABAC；

（4）如圖（2），延長BA到E，使AE=AC，連CE，可證CE∥AD，從而與（3）同；

（5）如圖（3），作∠ACE=∠B，交AD于E，則可證△ABD∽△ACE，DC=EC，從而得ABAC=BDEC=BDDC；

（6）如圖（3），以C為圓心，DC為半徑畫弧交AD于E，連CE，可證∠ADB=∠AEC，從而與（5）同；

(7)如圖（4），過D作DE∥AC，交AB于E，可證BDDC=BEAE，ABAC=BEED，且EA=ED，從而得BDDC=ABAC；

（8）如圖（5），過D作DE∥AC，交AB于E，作DF∥AB交AC于F，可證四邊形AEDF是菱形，從而證得BDDC=BEAE=AFFC以及EA=AF，得BDDC=BE+AFEA+FC=BE+EAAF+FC=ABAC.

總而言之，開放題的設計應著眼于開拓學生的解題思路，要立足于教材內容和學生的基礎知識，在此基礎上對教材進一步補充和拓寬，挖掘教材的思維因素，構建基礎性訓練與探索性訓練相結合的習題體系，從而培養學生的創新意識和創新能力.