巧用類比 啟迪思維

【摘要】數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力和解決實(shí)際問題的能力，但知識(shí)不能直接轉(zhuǎn)化為能力，必須通過思維才能實(shí)現(xiàn).本文重點(diǎn)探討培養(yǎng)學(xué)生類比思維的能力，通過對(duì)概念、公式、運(yùn)算、方法的類比，使教學(xué)和學(xué)習(xí)在一個(gè)簡練的過程中進(jìn)行，讓老師得到教的快樂，學(xué)生獲得學(xué)的樂趣.

【關(guān)鍵詞】類比；高中；數(shù)學(xué)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷.數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用.”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將歸納類比等思維能力的培養(yǎng)提到了相當(dāng)?shù)母叨?波利亞曾經(jīng)說過：“在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，歸納推理與類比推理起著主要作用.”

“類比”是通過兩個(gè)(或兩類)對(duì)象的比較，找出它們在某一方面(特征、屬性和關(guān)系)的類似點(diǎn)，從而把其中一對(duì)象的其他有關(guān)性質(zhì)移植到另一對(duì)象中去.因此，“類比推理”是從特殊到特殊的思維方法.利用類比法可以簡化對(duì)相似問題的研究，也有利于發(fā)現(xiàn)、推廣某些性質(zhì)，它是獲得發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的重要方法.在解決問題的過程中，“類比推理”可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維及合情的推理能力.因而，類比推理題已成為近幾年來高考新寵，此類試題極富思考性和挑戰(zhàn)性，凸現(xiàn)新大綱對(duì)思維能力的要求和新課程改革倡導(dǎo)的教育理念.本文從以下幾方面列舉類比推理思想的應(yīng)用.

一、平面圖形與空間幾何體的類比

例1 平面幾何射影定理：設(shè)△ABC是直角三角形，AD為斜邊BC上的高，則AB2=BC#8226;BD.拓展到空間，相應(yīng)可得什么樣的正確結(jié)論？

分析 把空間四面體與平面三角形進(jìn)行類比，直四面體（三個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直的四面體）與直角三角形進(jìn)行類比，空間中三角形的面積與平面內(nèi)三角形的邊長進(jìn)行類比，則有結(jié)論：

四面體ABCD的三條棱AB，AC，AD兩兩垂直，記△ABC的面積為S△ABC，點(diǎn)A在面BCD上的射影為H，則有S2△ABC=S△BCD#8226;S△BCH.

例2 由平面幾何中的圓內(nèi)接三角形以正三角形的面積最大，圓內(nèi)接四邊形以正方形面積最大為基準(zhǔn)，能否通過類比推理方法提出一系列的立體幾何中的相關(guān)問題或結(jié)論？

分析 圓與球在它們的生成、形狀、定義等方面都具有相似的屬性，因此我們將球作為圓的類比對(duì)象.同理，我們將正四面體和正方體分別作為正三角形和正方形的類比對(duì)象，可以得到以下結(jié)論：

（1）在球的內(nèi)接四面體中，以內(nèi)接正四面體的體積最大.

（2）在球的內(nèi)接長方體中，以內(nèi)接正方體的體積最大.

（3）在圓柱的內(nèi)接三棱柱中，以內(nèi)接正三棱柱的體積最大.

二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比

在等比數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列類比，自主地進(jìn)行探究、歸納等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能夠適時(shí)地滲透類比這種數(shù)學(xué)思想，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)修養(yǎng)將大幅度提高.

分析 ∵在等差數(shù)列{an}中，若m+n=20，則

am+an=2a10=0，

∴a1+a2+…+a18=a1+(a2+a3+…+a18)=a1，

a1+a2+…+a17=a1+a2+(a3+a4+…+a17)=a1+a2，

a1+a2+…+a16=a1+a2+a3+(a4+a5+…+a16)

=a1+a2+a3，

……

a1+a2+…+a9=a1+a2+…+a10.

把等比數(shù)列的比與等差數(shù)列的差進(jìn)行類比，則等比數(shù)列的積可與等差數(shù)列的和進(jìn)行類比，等比數(shù)列的1可與等差數(shù)列的零進(jìn)行類比.

在等差數(shù)列中等式成立的關(guān)鍵是若m+n=20，則am+an=2a10=0.

在等比數(shù)列中，∵b9=1，∴若m+n=18，則bmbn=b29=1是解此題的關(guān)鍵，∴b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17，n∈N*).

另外，根據(jù)等差數(shù)列定義和前n項(xiàng)和求和公式可類比平面向量中也有類似性質(zhì)：我們先來構(gòu)建等差向量列的概念：一般地，如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常向量，那么這個(gè)向量列就叫做等差向量列，這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差，記做d.

例4 求證：對(duì)于等差向量列{an}的第n項(xiàng)an，有an=a1+(n-1）d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差.

證明 ∵{an}為等差向量列，∴當(dāng)n≥2時(shí)，有

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=a1+(n-1)d.

當(dāng)n=1時(shí)，上面的等式也成立.

三、平面解析幾何中的類比

在平面解析幾何中，圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間具有某些類比關(guān)系，它們的某些幾何性質(zhì)具有很強(qiáng)的相似性.

例5 在圓x2+y2=r2中，AB為直徑，P為圓上一點(diǎn)，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，則kPAkPB=-1.在圓錐曲線中也有類似結(jié)論嗎?

分析 由于圓的直徑是過圓心的弦，圓心是圓的對(duì)稱中心，因此先考慮能否把直徑的概念推廣到圓錐曲線中.又橢圓和雙曲線都有對(duì)稱中心，設(shè)過中心的直線交橢圓或雙曲線于A，B，稱線段AB為橢圓或雙曲線的直徑，則有以下正確命題：

（1）在橢圓x2a2+y2b2=1中，AB為直徑，P為橢圓上一點(diǎn)，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，則kPAkPB=-b2a2.

（2）在雙曲線x2a2-y2b2=1中，AB為直徑，P為雙曲線上一點(diǎn)，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，則kPAkPB=b2a2.

證明 (以(2)為例)

設(shè)P(x，y)，A(x0，y0)，B(-x0，-y0).

∵x2a2-y2b2=1，x20a2-y20b2=1，

即y2=b2a2(x2-a2)，y20=b2a2(x20-a2).

∴kPAkPB=y-y0x-x0#8226;y+y0x+x0=y2-y20x2-x20

=b2a2［(x2-a2)-(x20-a2)］x2-x20=b2a2.

命題(2)成立，同理可證(1)成立.

由于拋物線沒有對(duì)稱中心，因此例5沒辦法推廣到拋物線中.

四、復(fù)數(shù)運(yùn)算中的類比

在進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di的和或差的運(yùn)算時(shí)可類比合并同類項(xiàng)，得到復(fù)數(shù)的加減法法則：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)把實(shí)部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數(shù)單位即可.復(fù)數(shù)乘法也可和整式乘法類比進(jìn)行類似處理.復(fù)數(shù)除法可以和根式除法進(jìn)行類比，比如在做根式除法如5+23-2時(shí)，分子分母都乘以分母的“有理化因式3+2”，從而使分母有理化.那么在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法如3+i2-3i時(shí)，我們可以考慮使分母實(shí)數(shù)化，即把分子分母都乘以分母的實(shí)數(shù)化因式，也就是共軛復(fù)數(shù)2+3i，就可以使分母實(shí)數(shù)化了.

其實(shí)，在數(shù)學(xué)教材中，很多新知識(shí)都是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，因而在這些新知識(shí)中多少都會(huì)帶有舊知識(shí)的痕跡.在授課時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行回憶、類比，給學(xué)生創(chuàng)造“最佳思維環(huán)境”，可以使學(xué)生猜想出新授知識(shí)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究思想與方法，從而激發(fā)學(xué)生的積極性，變被動(dòng)聽為主動(dòng)學(xué).雖然這樣類比的結(jié)論不一定正確，但它卻教會(huì)學(xué)生一種探索問題的方法，這也正是要把學(xué)生從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)化為“會(huì)學(xué)”的一種有益的嘗試和手段，也只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)類比能力.

【參考文獻(xiàn)】

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