追本溯源 巧裁精剪

【摘要】高三數學復習備考中，許多教師偏離了正確的復習方向，要求學生掌握自己認為很重要卻是“超綱”的內容.縱觀近幾年的高考試題，其考查內容是在穩中求新求變，但萬變不離其宗，占“核心內容”的基礎題目還是有章可循的.高考的源頭是教材，這是高三復習必須研究和回歸的起點和終點.現行的課標教材，蘊含著豐富的拓展資源，為教與學提供了廣闊的空間.

【關鍵詞】數學復習；回歸課本；新舊對比；歸類整理；全面反思

新課程改革的實施使高中數學從教學理念到教學內容都有了很大變化.其中教材版本的多樣化為學校自主選擇提供了廣闊的空間，也為教師利用所選教材進一步優化數學教學，提高課堂教學效率，提出了新課題.高考題源于教材并高于教材，雖然教材是教學之本，但一些教師對于教材中的例題與練習，總感覺比較基本，學生可以獨立解決，課下自己做做也可.其實質是沒有很好地引導學生重視教材，挖掘教材.

《考試大綱》和《考試說明》是每位師生必須熟悉的最權威最標準的高考信息，要通過認真研究，明確“考什么”“考多難”“怎么考”這三個問題.教材是學習數學基礎知識、形成基本技能的“藍本”，必須認真鉆研，充分挖掘和利用.近幾年的高考命題堅持貫徹高考試題“源于教材”的命題原則，一直都很注意強化教材的作用.仔細研究就會發現近幾年的高考試題是可以從教材中找到原型的，有些僅僅是教材題目經過加工改造，組合嫁接而成.

例1 (人教A版選修2-1P109例4)如圖，在已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點E是PD的中點，作EF⊥PD交PD于點F.

（1）求證：PB⊥平面EFD；

（2）求二面角D-PC-A的大小.

例2 （2008年山東高考理科第20題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點.

（1）證明：AE⊥PD；

（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為62，求二面角E-AF-C的余弦值.

立體幾何是圖形的學問，所以圖形是立體幾何的核心，而核心的構成應該有一些基本元素，在高考中，這些基本元素應該是常見常新的經典圖形.在教材的例題和習題中有許多高考題的原型，對這些圖形的理解和掌握有利于培養學生的思維能力，值得我們好好研究和利用.

例3 （2008年廣東高考理科第17題）隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產品的利潤（單位：萬元）為ξ，（1）求ξ的分布列；（2）求1件產品的平均利潤（即ξ的數學期望）.

例4 （人教A版選修2-3P69B組第2題）一臺機器一天內發生故障的概率為0.1，若這臺機器一周5個工作日不發生故障，可獲利5萬元；發生1次故障仍可獲利5萬元；發生2次故障的利潤為0萬元；發生3次或3次以上故障要虧損1萬元，問：這臺機器一周內可獲利的均值是多少？

“數學是思維訓練的體操”，可以提升人的思維能力.教材上的題都是學生親手做過的題目，非常親切，如果對此進行挖掘，既符合認知規律，又能開發學生的創造潛能，培養學生的思維能力；這樣追本溯源，以不變應萬變，避免因無從下手而押題、猜題.

縱觀高考命題，積極體現新課改理念和要求，源于教材，注重基礎，著眼過程和能力，提倡理性思維.對于教材的使用，我們主要從以下幾個方面作了一番探究，總結出一點方法：

1.回歸課本，抓好基礎落實

系統地掌握每一章節的概念、性質、法則、公式、定理、公理及典型例題；對數學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）要能準確地表達與運用；重視公式的順用、逆用和變形用，重視定理的推導等.這是高考復習必須做好的第一步，高考題“源于教材，高于教材”，這是一條不變的真理，所以復習時萬萬不能遠離教材，要認真研讀教材，從教材的知識、習題來歸納復習內容，注意對教材習題的變式練習，必要時還應對一些課本內容進行深入探究、合理延伸和拓展.

2.新舊對比，加強整合力度

隨著課程改革的不斷深入，高考對教材新添內容的考查難度呈逐漸加大趨勢，例如向量、導數已由以前在解決問題的輔助地位上升為分析問題和解決問題不可缺少的工具.高考倡導“在知識網絡的交匯點設計試題”，復習應該特別關注新增內容與傳統內容的“交匯點”，重視其形成，理清其脈絡，分析其內涵、外延和交匯特點.如：三角函數、立體幾何、數列、函數以及解析幾何等，幾乎是高考必考，必須實實在在地先把教材知識復習到位，也就是教師要找準教學的著力點；復數以及部分要求不高的選修內容，可不做過深的復習要求.

3.歸類整理，構建知識網絡

概括知識要點要具體，幫助學生對基礎知識、基本技能進行梳理，使之系統化、結構化、完整化.教材中的例題及課后練習逐題過關，對做過的習題和學到的方法及時進行回顧、檢驗和反思整理，使學生準確理解每一個概念、定理，克服弱點，確保顆粒歸倉.關注那些形似質異和形異質同的問題，嘗試一題多解和多題一解，學會用發展的眼光、聯系的觀點看待問題.

例如，在復習了等差、等比數列的概念后，對概念中的條件和適用范圍進行深入剖析，利用等差、等比數列的結構特征可以得出一系列的性質.教材中推導等差、等比數列的通項公式使用的是不完全歸納法，復習中可引導學生使用疊加法、逐差法、數學歸納法推導等差數列的通項公式；類比等差數列，可用疊乘法、逐商法、數學歸納法推導等比數列的通項公式.這些方法是處理遞推數列的常用方法，也是高考中的熱點問題.在復習等差、等比數列的前n項和公式時，同樣可挖掘出許多性質.復習等差、等比數列的通項公式及前n項和公式還可以引導學生利用函數思想進行研究和探討，可以達到知識前后聯系綜合運用的目的.通過拓展挖掘使學生進一步掌握數學知識的發生發展過程，牢固掌握其所蘊含的重要思想方法，達到觸類旁通之功效，遇到相關類似問題能得心應手地解決.

數學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”實際上也為數學的學習標明了三個遞進的境界：一是知其然；二是知其所以然；三是知何由以知其所以然.高三數學復習，不能滿足于一，應該立足于二而求三，應該以教材為本，以提高學生能力為目標，以培養良好的習慣為重，以指導學生全面反思為重.

教材是知識的載體，是教與學的依據，它是學生獲取知識、提高能力的源泉.創造性地使用教材，是新課改對廣大教師提出的要求.教師在使用教材的過程中，應根據自身和學生的實際，深入學習新課程標準，認真地研究教材，力求真正做到把教材用好、用活，達到最佳的教學目的.盡可能由教材的“復制者”轉變為教材的“創造者”，對使用的教材做出相宜的“裁剪”，從“教教材”轉向“用教材教”，加深、拓展課程的內涵和外延，從而達到最佳的教學效果.