淺析數學思想方法與含參不等式的最優解答

高中數學教學內容主要有基礎知識和數學思想方法這兩個方面，新教材在關于不等式的解法及證明內容設置上較分散，螺旋上升，循序漸進.解含參數不等式因其涉及知識廣泛、綜合性強、方法選擇性靈活，因此用來考查分析問題與解決問題的能力，考查學生數學思想的掌握情況，含參不等式的相關問題成為高中數學教學與高考復習的重點和難點，同時也成為高考命題的熱點.本文結合實例探討以數學思想方法為指導的含參不等式的最優解答方案.

一、分類討論的思想方法

例1 解關于x的不等式：a(x-1)x-2>1(a∈R).

分析 該不等式的基本類型為分式不等式，應通過移項→通分→調整系數→數軸標根等步驟完成，但在調整系數及數軸標根時，涉及對參數a的分類討論，因此，合理的分類標準成為解答這類型含參數基本不等式的關鍵.

解 （1）當a≠1時，原不等式(a-1)x-a-2a-1x-2>0.

①當0

②當a>1時，解為x2；

③當a<0時，解為a-2a-1

④當a=0時，無解.

（2）當a＝1時，解為x>2.

在采用分類討論的思想解決問題的過程中，要注意做到分清分類依據，分類要做到不重不漏.

二、化歸與轉化的思想方法

例2 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有實數m都成立，求x的取值范圍.

分析 含參不等式問題多個變元中，先根據題目條件靈活確定主元，然后考慮參數的變化對主元的影響往往使問題簡化.本題中確定已知參數m的取值范圍而求未知數x的取值范圍，可化歸為以m為主元，x為參數的不等式求，原不等式可變形為(x2-1)m-(2x-1)<0，當|m|≤2時恒成立.

解 構造以m為自變量的函數f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，則原問題可等價轉化為函數f(m)在區間［－2，2］上的函數值恒小于零，從而有f(-2)<0，

f(2)<0，即-2(x2-1)-(2x-1)<0，

2(x2-1)-(2x-1)<0，解得-1+72

此題采用轉換主元的思想，使本身捉摸不透、無從下手的試題迎刃而解.

三、數形結合的數學思想

例3 當-1

分析 對于此題的解法，許多學生都求二次函數f(x)=x2-2(a+1)x+3-4a在(-1，1)上的最小值，分三種情況進行討論，解題過程比較繁雜，而且容易出錯，若利用圖形的位置關系以數形結合來解這一道題，則一目了然，非常直觀、簡捷.

解 原式可變形為x2-2x+3>2a(x+2)在-1

作y=x2-2x+3在-1

當直線過(1，2)時，a=13；直線繞著點(-2，0)順時針旋轉時也滿足題設條件，所以a≤13.

此題借助數形結合的直觀性，解決了一道利用分類討論很繁雜的題目.數形結合的思想在數學應用中起著舉足輕重的作用，特別對解決填空題和選擇題.圖形的直觀性對于解決探究性問題也能起到啟示作用.

四、構造函數解不等式

例4 解不等式：8(x+1)3+10x+1-x3-5x>0.

分析 本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較繁.但注意到8(x+1)3+10x+1=2x+13+52x+1且題中出現x3+5x，啟示我們構造函數f(x)=x3+5x去投石問路.

解 將原不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變為f2x+1>f(x).∵f(x)=x3+5x在R上為增函數，∴原不等式等價于2x+1>x，解得-1

此題利用構造函數的思想，借助函數的單調性證明不等式，使原本很復雜的高次不等式得到了簡潔明確的解題思路.在近年高考中，利用函數證明不等式屢見不鮮.在人教版教材選修2-2中，課后習題就設置了這樣的習題，如：①sinx

五、解不等式中的簡易邏輯思想

例5 已知p:1-x-13≤2，q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，

瘙 綈 p是

瘙 綈 q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.

分析 本題為不等式與簡易邏輯的綜合試題，命題的表述重心移至充要條件，使用了學生較為熟悉的語言形式.充要條件是一個十分重要的數學概念，新教材將這一內容的學習放在選修2-1的第一章，從而也可能利用第一章的知識內容來命題考查這一概念.本例是一道融絕對值不等式、二次不等式的求解與充要條件的運用于一起的較好試題，要求學生能正確運用數學符號，規范數學學習行為，否則連讀題審題都感困難.

解 由1-x-13≤2，得-2≤x≤10.

由x2-2x+1-m2≤0(m>0)，得1-m≤x≤1+m(m>0).

設A={x|x<-2或x>10}，B={x|x<1-m或x>1+m(m>0)}，

則有AB，故1-m≥-2，

1+m≤10，

m>0，且不等式中的第一、二兩個不等式不能同時取等號.

解得0

此題是綜合試題，充分體現了不等式在高中數學的學習過程中，幾乎與每個章節的知識都可結合考查.

總之，數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是實現數學思想的手段和工具.數學思想方法的教學，是培養有能力有創造性人才的重要手段，是加強數學素質教育的著重點.在新課程實施過程中，我們要把數學思想方法貫徹滲透到教學的每節課中，讓學生在潛移默化中學會理解并應用這些思想方法.在新教材中數學思想大多數是以隱蔽的形式存在于字里行間的，它需要通過教師有效地挖掘指點，化隱為顯，學生才能領悟掌握.