用建模的方法解一類數(shù)學(xué)競賽題

【摘要】筆者認(rèn)為，改變當(dāng)前中學(xué)的應(yīng)試教育，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)貐⑴c到數(shù)學(xué)競賽中來，通過認(rèn)識一定的競賽題，開拓自己的思路，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，是非常有必要的舉措.許多競賽題，初看時不知它屬于哪一個數(shù)學(xué)分支，有一種云里霧里的感覺，學(xué)生在解答題目時，無從下手.其實(shí)，競賽題中用到的數(shù)學(xué)知識非常簡單，筆者試圖通過對一類競賽題建立數(shù)學(xué)模型，拋磚引玉，讓學(xué)生們能舉一反三、游刃有余地解決更多的競賽題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)競賽；數(shù)學(xué)模型；問題解決

在中學(xué)教育中加入數(shù)學(xué)競賽的教育，有著現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)的歷史意義.眾所周知，數(shù)學(xué)最引人注目的特點(diǎn)是思維的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性.這是在數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長的歷程中逐漸形成的.對其中有關(guān)的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系的共性不斷地抽象、升華而形成當(dāng)今的數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性則為各門學(xué)科以及人們的生產(chǎn)、生活和社會活動在定量方面向深層次發(fā)展奠定了基礎(chǔ).數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的一種有效的重要工具.

數(shù)學(xué)提供給人類的不僅僅是現(xiàn)成的知識和工具，更重要的是提供給人類的思想和方法.在數(shù)學(xué)方法中，從宏觀層面上看，具有典型數(shù)學(xué)特征、影響和作用最大的是公理化方法和數(shù)學(xué)模型方法以及隨機(jī)思想方法.“數(shù)學(xué)模型方法”(Mathematical Model Method)簡稱MM方法，它不僅是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法，而且是處理科技領(lǐng)域中各種實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)模型方法是根據(jù)研究的目的，采用數(shù)學(xué)形式化語言將研究的某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.

數(shù)學(xué)競賽的測試點(diǎn)與義務(wù)教育不同，它不是考學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，而是考學(xué)生的能力，考靈活性與創(chuàng)造性，這是由數(shù)學(xué)競賽的要求決定的.筆者認(rèn)為，改變當(dāng)前中學(xué)的應(yīng)試教育，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)貐⑴c到數(shù)學(xué)競賽中來，通過認(rèn)識一定的競賽題，可以開拓學(xué)生的思路，提高學(xué)生的綜合素質(zhì).許多競賽題初看時不知它屬于哪一個數(shù)學(xué)分支，題型從未見過，其實(shí)它用到的數(shù)學(xué)知識卻非常簡單，基本上都學(xué)過，有些題甚至只用到小學(xué)的算術(shù)，有些題目可以是將中學(xué)數(shù)學(xué)知識綜合在一起，表現(xiàn)出較深的思維和巧妙的特點(diǎn).

數(shù)學(xué)來源于人們生產(chǎn)和生活的需要.相當(dāng)?shù)囊徊糠指傎愵}目源自實(shí)際生活，看不出有多少數(shù)學(xué)味道，更談不上屬于哪個分支，需要什么知識.這些題目首先要由學(xué)生自己去建立數(shù)學(xué)模型再加以解決.其中一些問題是本來實(shí)際生活中就經(jīng)常出現(xiàn)的，另一些卻是先有數(shù)學(xué)問題，再把它變成一個實(shí)際問題，這樣做，除了增加競賽的趣味性之外，更重要的是要考學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的能力.一個實(shí)際問題可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，這些不同的數(shù)學(xué)模型可以有相同的思路，也可以是思路各不相同，但一般說來，一旦建立了模型，思路就幾乎出來了.即使是一個純數(shù)學(xué)問題，也可以有不同的數(shù)學(xué)模型.我們常說的一題多解實(shí)際也有這種意思.對數(shù)學(xué)競賽而言，意思更廣.

建立數(shù)學(xué)模型，就是把問題的條件（或已知數(shù)據(jù)）和結(jié)論（或未知量）用數(shù)學(xué)語言表示，這就是“翻譯”工作，不同的數(shù)學(xué)模型有不同的數(shù)學(xué)語言.這樣就把一個實(shí)際問題變成一個等價的數(shù)學(xué)問題.但要認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型不是對現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡單的模擬，有的問題經(jīng)過這樣的翻譯就變成熟知的基本數(shù)學(xué)問題，從而問題更易解決.數(shù)學(xué)競賽的部分考題中就是考查學(xué)生這種翻譯能力.假如學(xué)生能熟知和建立各種形式的數(shù)學(xué)模型，那么思路必然就開闊得多.

請看下面三個題目，它們表面差別很大，卻是出于同一個數(shù)學(xué)模型.

例1 任意剪六個圓形紙片放在桌上，使得沒有一個紙片的中心落在另一紙片上，或被另一紙片蓋住.然后用一枚針扎這些紙片.說明：不論針尖落在哪一點(diǎn)，總是不能一次把六個紙片全部扎中.

這個題目又被改編為：

例2 從100個城市（有的寫成n個城市，n>5）同時各起飛一架飛機(jī)，飛往離本市最近的城市降落.證明：在任一個城市中降落的飛機(jī)都不超過6架.

后來又改編為純數(shù)學(xué)題：

例3 令n為大于5的整數(shù)，n個共面的點(diǎn)中，每兩個的距離均不相等.將每個點(diǎn)與和它的距離最近的點(diǎn)用線段相連.證明：沒有一個點(diǎn)與多于5個點(diǎn)相連.

這三個問題只用到這樣的幾何知識：三角形三內(nèi)角之和為180°及大邊對大角.只要會證一個題，其他兩題即迎刃而解.以例1為例，證明如下：

用反證法，設(shè)針尖落在點(diǎn)P上，而P落在六個圓之內(nèi)，六個圓的圓心分別為O1，O2，…，O6，為方便，設(shè)它們的排號是PO1，PO2，…，PO6，按順時針方向排列.因P點(diǎn)在圓⊙O1，⊙O2內(nèi)，故O1O2>PO1，O1O2>PO2.否則，O1，O2必有一點(diǎn)在另一點(diǎn)所在圓的內(nèi)部.根據(jù)三角形三內(nèi)角的性質(zhì)知∠O1PO2>60°，同理∠O2PO3，…，∠O6PO1也大于60°，這是不可能的，可知反證法假設(shè)不成立，問題得證.

善于和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)競賽中各類題目的共性，是為它們建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，在這方面教師有義務(wù)對學(xué)生做出引導(dǎo)，讓學(xué)生在循序漸進(jìn)的過程中享受數(shù)學(xué)帶來的樂趣，為可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).