論高中數學邏輯與教學方法

【摘要】高中數學的邏輯教學內容主要涉及常用的邏輯用語和邏輯推理方法，但目前在高中數學邏輯的教學中存在著不少問題，有的是因為教師知識儲備和教學方法等方面的原因，有的是因為學生的認知能力有限方面的原因.本文提出幾個有代表性的問題和相關教學方法的建議.

【關鍵詞】高中數學；數學邏輯；教學方法

“邏輯”一詞由英語“logic”一詞音譯而來，最初的涵義即“規律”.數學作為一門基礎學科，反映了現實世界的數量關系和空間形式，具有高度的抽象性.絕大多數的數學公式、定理不具備現實物質性，無法用現實經驗加以證明，只能依賴于邏輯推理.因此，邏輯在數學領域扮演著重要的角色.

一、高中數學邏輯

1.現階段高中數學邏輯的基本內容

早在1956年的數學教學大綱中，就首次提出了要發展學生的邏輯思維能力，涉及了“定義、公理、定理”等邏輯基本知識.之后，邏輯知識的學習就成為數學大綱的一個重要組成部分，內容不斷豐富，針對性不斷增強.到2003年，教育部頒布了新的《普通高中數學課程標準(實驗稿)》，其中常用邏輯用語作為單獨的一章被列入高中數學選修1-1和選修2-1中，推理與證明內容作為單獨的一章被列入選修1-2和選修2-2中.其具體要求為學生能了解、體會邏輯用語在表述和論證中的作用，并且能夠利用邏輯用語準確地表達數學內容.經過一定的訓練之后，可以形成自覺地利用邏輯知識對一些命題間的邏輯關系進行分析和推理的意識，發展學生利用數學語言準確描述問題、規范闡述論證過程的能力.

具體而言，高中數學的邏輯教學內容主要涉及常用的邏輯用語和邏輯推理方法.常用的邏輯用語包括：（1）各種命題.（2）簡單的邏輯用語.（3）量詞及命題的否定.（4）四種命題及相互關系.（5）充分條件和必要條件.邏輯推理包括：（1）三段論推理.（2）合情推理.（3）思維要符合邏輯.以上的八個方面基本涵蓋了目前高中數學的邏輯知識類型.

2.高中數學邏輯知識的價值

在高中數學課程標準中，盡管專門的邏輯教學內容不足十課時，但是所涉及的常用邏輯用語和邏輯推理規則及方法卻貫穿于全部的數學知識之中.除此之外，高中數學所學邏輯的價值絕不僅僅限于數學領域，在日常生活的諸多領域都起著非常重要的作用.

（1）應用價值.數學邏輯知識首先是為數學學習服務，上文提過數學是一門抽象的學科，一個命題的成立與否、幾個命題之間的關系的證明都需要邏輯的參與.學好這些簡單的邏輯用語、推理方法及規則是學好數學的前提.在數學領域之外，其同樣也起著重要的作用.例如機器證明、自動程序設計、計算機輔助設計、邏輯電路等計算機應用和理論等都是以這些簡單的邏輯用語和推及規則為最根本的基礎，甚至在經濟、政治、哲學、文學等各個學科中，這些在高中學到的基本的邏輯知識也是必不可少的.

（2）思維價值.數學學科的一個重要目標就是培養學生抽象的邏輯思維能力.瑞士心理學家皮亞杰的心理發展階段論認為，學生在高中階段是以經驗型為主的思維方式向理論型抽象思維過渡的階段，這個時期邏輯思維占主導地位.而此時若進行簡單邏輯知識的學習有利于最大限度地促進學生的思維訓練，促進邏輯能力的培養.

二、高中數學邏輯教學中的問題和相關教學方法

目前在高中數學邏輯的教學中存在著不少問題，有的是因為教師知識儲備和教學方法等方面的原因，有的是因為學生的認知能力有限方面的原因.下面是幾個有代表性的問題和相關教學方法的建議.

1.對命題的理解.課本中的“命題”定義為“能夠判斷真假的語句叫做命題”.但在學習過程中，有的學生認為命題一定要有條件和結論，即命題都可以改寫為“如果……，那么……”的形式.而對于“3>2”，因其不能改寫成“如果……，那么……”的形式，就認為這不是一個命題.為了避免學生產生這種思維定勢，教師在教學中應該不能過多地使用“如果……，那么……”來解釋命題，同時要明確指出“如果……，那么……”只是命題的一種典型的格式而已.

2.邏輯聯結詞的掌握.邏輯聯結詞，主要是“或”“且”“非”三個，是高中數學邏輯知識的重要內容.準確地掌握邏輯聯結詞及其相互間的關系，就可以將復雜的復合命題分解為若干個簡單命題，使命題簡單化.有的學生將數學邏輯語言中的“或”“且”“非”與自然語言中的“或”“且”“非”混淆，辨別不清，產生錯誤.例如“4的平方根是2或-2”，如果“或”理解為邏輯聯結詞，意思是對的；然而理解為自然語言中的“或”就是不恰當的說法，這會讓學生產生疑惑.因此在教學中，教師應該嚴格地區分自然語言和數學邏輯語言的區別，并明確指出兩者之間的差別.因此，上文命題嚴格說法應是“4平方根有兩個，是2和-2”，或直接說成“4的平方根是2和-2”，這樣就不易造成混淆.

三、全稱量詞和存在量詞的理解

2003年頒布的課程標準中邏輯知識的最大特點就是加入了關于量詞的內容，要求通過生活和數學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.但學生在學習中碰到了不少問題，例如有的學生沒有理解全稱命題否定的形式的真正意義，竟認為“所有的正方形都是矩形”這個命題的否定是“所有的正方形都不是矩形”；有的學生雖然掌握了四種命題之間的關系，但是不會靈活運用.這些問題的產生很大一部分是教師的原因：因為量詞是一個新的知識點，有的老師并沒有掌握量詞的全面知識，所以，在講課時僅僅是結合教師參考書，沒有進行全面的研究.教師的水平直接影響到了學生的學習水平.因此，教師應該加強學習、交流，豐富自己的知識，提高教學能力，只有這樣才能讓學生學好全稱量詞和存在量詞.

高中數學和邏輯聯系緊密，高中數學教學實踐中肯定會遇到形形色色的邏輯問題，有的用簡易邏輯能解決得了，但大部分可能解決不了，也可能目前數理邏輯的幾種語言和推理系統都不能完美地解決.

總之，高中數學中簡易邏輯教學的重點是界定聯結詞的意義，讓學生體會到用邏輯語言表達數學內容的準確性和簡潔性，因此教師教學宜選用典型正例，不宜涉及超范圍、當時解釋不清的例子，也不宜在此過多地糾纏，這樣做并不會妨礙對數理邏輯知識的學習和思想方法的領悟.

【參考文獻】

［1］石素霞.計算的心靈：邏輯——數學智能與教學.學苑音像出版社，2004.

［2］郭思樂，喻偉.數學思維教育論.上海：上海教育出版社，1997.