用“數(shù)字化虛擬人”形象引入定積分的概念

1991年，世界第一例數(shù)字化虛擬人在美國誕生了.這一數(shù)字化可視人體的數(shù)據(jù)集的建立，標(biāo)志著人類在醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、仿生學(xué)等方面的基礎(chǔ)研究和應(yīng)用上取得了重大突破.數(shù)字化可視人的問世，也無疑有著重要的理論意義和廣闊的臨床運(yùn)用前景.

目前，我國成為繼美國和韓國后，第三個(gè)擁有本國虛擬人數(shù)據(jù)集的國家.最精細(xì)的是“數(shù)字人男一號(hào)”，擁有9200個(gè)平面切片，照片分辨率達(dá)到2200萬像素.其處理生成的過程大致如下：

第一步：類似“建系”

肌體無任何病變的健康男性，在死后2小時(shí)內(nèi)，對(duì)其尸體進(jìn)行全面的消毒處理，肢體平放，并將全身涂上明膠固定后置于特制的盒子里，放在-70℃的環(huán)境中完全冷凍.

第二步：精密切割

在-20℃的低溫環(huán)境中，將該男性的尸體用數(shù)控銑床從頭到腳切成約0.1毫米的薄片，共有18000多片.每切一片，便隨即作相應(yīng)的清潔處理.經(jīng)數(shù)碼相機(jī)拍攝后，全部的信息都以數(shù)據(jù)的形式存儲(chǔ)于計(jì)算機(jī)中.當(dāng)然，切片越多，片層精度就越高，人體數(shù)據(jù)就越詳細(xì).

第三步：近似整合

對(duì)有限的、連續(xù)的橫斷面圖像數(shù)據(jù)信息進(jìn)行整合，再通過“模擬延展”等一系列必要的、相關(guān)的技術(shù)和醫(yī)術(shù)處理，便最終形成了透視的、“活生生”的數(shù)字化可視人.其原理是通過先進(jìn)的信息技術(shù)與生物技術(shù)相結(jié)合的方式，在計(jì)算機(jī)上操作可視的模型，包括人體的各器官和細(xì)胞等，最終建成生物網(wǎng)絡(luò)化的流程，即：從具有幾何圖形和視覺效果的“可視人”，到附有物理化學(xué)信息真切實(shí)感的“物理人”，再到附加人體各種信息隨心所欲的“生物人”.

這種利用有限分割、近似整和的極限思想在數(shù)學(xué)史上早有體現(xiàn).我國莊子（公元前355-275）《天下篇》中說，“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”，就具有極限的思想.公元263年，劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)提出“割圓術(shù)”，用正多邊形逼近圓周.他說“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.這是極限論思想的成功運(yùn)用.

設(shè)圓半徑為R，周長為C，正n邊形的邊長為a，那么每個(gè)邊對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=2πn，則C=n2R#8226;sinπn，取極限，也即讓n趨向正無窮大，過程如下：

limn→∞n2Rsinπn=2nRπnlimn→∞sinπnπn=2πRlimπn→0sinπnπn=2πR.

最終結(jié)果只需利用極限公式limx→0sinxx=1求得.

此類研究處理問題的方法，經(jīng)過物理學(xué)家阿基米德、法國數(shù)學(xué)家巴斯卡和費(fèi)馬、英國的瓦里士和巴羅及萊布尼茲和牛頓的推動(dòng)下，發(fā)展到17世紀(jì)，就誕生了另一重要的數(shù)學(xué)工具——定積分.

下面以求曲邊梯形的面積為例（參見教材特例），介紹“分割、近似求和、取極限”的方法.

（1）分割

將研究區(qū)間［a，b］等分為n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)區(qū)間為i-1n，in，它的長度為Δx=b-an，區(qū)間左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為fi-1n.（這里，很多學(xué)生可能會(huì)有疑惑，第i個(gè)區(qū)間到底是什么？）

（2）近似求和

“以直代曲”，用第i個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即ΔSi≈fi-1n#8226;Δx.

則總面積的近似值為Sn=∑ni=1fi-1n#8226;Δx.

（3）取極限

當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，即Δx=1n趨向于0時(shí)，Sn就會(huì)趨向于曲邊梯形的面積S，即S=limn→∞Sn.

這一方法還可以求變速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移、變力所做的功及球的體積和表面積等.盡管很多問題的具體背景不相同，但都?xì)w結(jié)為“分割﹑近似求和﹑取極限”的思想方法，即求∑ni=1fi-1n#8226;Δx的極限問題，這就是產(chǎn)生定積分概念的基礎(chǔ).

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0

∑ni=1f(ξi)#8226;Δx=∑ni=1b-anf(ξi)，

則∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1b-anf(ξi)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的定積分.

【參考文獻(xiàn)】

［1］數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1997.

［2］真正描述大自然的幾何學(xué).科學(xué)世界，2003（4）.