函數教學中的難點突破

【摘要】函數貫穿于高中數學課程的始終，它的重要性應屬高中數學之首，而函數的強抽象性使得學生在對函數的概念的理解及性質的應用上存在諸多困難，函數中轉化思想、換元思想等思想方法雖然看似簡單而且常用，但是學生還是難以真正理解.筆者結合教學實踐，在函數教學中引用包裝思想，并輔助以生活化的數學語言，獲得學生的高度認同，效果明顯，為此整理成文，請各位同仁加以指正.

【關鍵詞】包裝；包裝思想；數學語言；語言藝術

函數貫穿高中數學的始終，它在方程、不等式、解析幾何、數列、算法、應用問題等知識中的廣泛應用奠定了它在高中數學中至尊至上的地位；新課程標準實施建議中提出，教師應幫助學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能，發展能力，強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想（如函數等）要幫助學生逐步加深理解；對于數學高度抽象的特點，要注重體現基本概念的來龍去脈.函數重要性及新課程標準的實施建議決定了函數教學的重要性，那么怎樣才能讓學生更容易掌握函數的相關知識呢？怎么才能讓學生熟練應用函數的圖像與性質呢？這值得我們數學教學工作者深入研究.

一、學生在函數學習上的問題分析

教師往往用一些實例引出函數的定義，學生能接受那具體的實例，但在具體運用中明顯表現出對概念的不理解；在對函數性質應用的時候，學生很大程度上停留在識記階段，對上課老師講過的同類型的題目還是以模仿為主，要是碰上新穎的題目或是老師沒講過的題目，學生往往束手無策，而且在解題過程中丟三落四，忽視條件及注意事項，究其原因是學生對問題本質的不清.因此如何讓學生真正地理解概念及性質值得我們去探索，而要使學生擺脫原有的機械模擬，這就需要我們更新原有的思想方法、原有的語言方式，用學生易接受的方式、語言來使之理解、消化.

二、函數包裝思想的產生

在函數課堂教學實踐過程中，發現學生學習中存在著以下幾個主要問題：

1.學生對函數的概念及對換元思想的掌握情況不甚理想，缺乏實質性的理解，思路不清者較多.

2.學生所學基本初等函數有一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、正弦函數、余弦函數、正切函數，它們的圖像與性質是學生所熟悉的，各式各樣的復合函數必定可以轉化為基本初等函數，因此如何把復合函數轉化為基本初等函數，化未知為已知、化陌生為熟悉、化繁為簡成為攻克函數難點的重中之重.

3.函數中轉化思想、換元思想這些常用的思想看似簡單，但對學生而言它們仍屬抽象且難理解，學生多被迫接受，并沒有在接受過程中產生自己的思想，學生從中很難體會到學習當中蘊含的樂趣.

鑒于以上幾個原因，筆者通過教學實踐與反思，由小品《如此包裝》中產生靈感，在函數教學中用上“包裝”，也就是對換元、轉化等術語作了適當的調整，通過包裝思想及生活化的語言藝術來講述函數相關問題，并取得非常好的效果.

三、包裝的本質

函數中的包裝其實就是變相的換元，它是一種思想，可以放在心里一閃而過，不需用換元的方式來書寫；也可以把包裝用換元的方式加以書寫，其結果可能與換元法寫法完全相同，但其心理過程不完全相同.通過實踐證明，函數教學用包裝思想來理解的效果明顯勝于用換元思想、轉化思想來理解的效果.包裝的一個最主要的目的是構建一個或多個熟悉的基本初等函數，從而實現復雜問題簡單化、未知問題已知化.

四、函數包裝的種類及前期準備

按照函數的復雜程度進行包裝，以包裝成基本初等函數為原則，按包裝的次數分為單次包裝及多次包裝.在應用包裝思想前應掌握基本初等函數（一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、正弦函數、余弦函數、正切函數）的圖像與性質.

五、包裝過程中的語言藝術

函數之所以成為學生學習的難點，很大程度上源自于抽象的概念、抽象的語言，數學化的專業術語有時成了學生學習的絆腳石，大多數學生難以理解教材中某些句子的含義，他們能懂得換元是怎么回事，但他們不懂得為什么要換元，什么時候要換元，前因后果不明，邏輯關系混亂，在老師認為很簡單的地方學生往往還會有很多疑惑，因此讓我們的數學語言通俗化、生活化，使之成為學生易接受的語言顯得十分重要.

數學語言的標準是學生的可接受性，語言要具備合理性、幽默性、親和性、易懂性，讓學生能在生活化、幽默化的語言藝術中更快的接受數學知識，通過這樣的語言藝術體會學習數學的樂趣.

六、實踐探究

例1 已知函數f(x)的定義域為（1，2），求函數f(2x)的定義域.

分析 （1）明確定義域的定義；（2）f(x)與f(2x)的關聯.

解法一（代入法） ∵1

∴函數f(2x)的定義域為12，1.

學生的困惑：x的范圍怎與2x的范圍相同？其根本原因就是不理解兩個x的區別，不理解函數的概念.

解法二（換元法） 令t=2x，∵1

∴1

∴函數f(2x)的定義域為12，1.

學生對解法二的理解雖然比解法一更進一步，但還是有較多學生表現出迷茫的表情.

于是筆者引進包裝法的思想：

已知函數是f(x)，未知函數是f(2x)，所要求的定義域是未知函數中自變量x的取值范圍，而兩個函數的聯系是對應關系相同，函數f(x)是已知函數，我們可以對未知函數f(2x)作個包裝，把2x包裝成一個最簡單的變量如t，從而構造了函數y=f(t)，由函數的定義可知，y=f(t)與y=f(x)意義完全相同，只是自變量用了不同的字母，這樣就實現了把未知函數包裝成已知函數的目的，于是t與f(x)中的x信息完全相同，通過已知函數y=f(x)得到t的信息，最后拆掉包裝即可.

具體解法如下：

解法三（包裝法） 把2x包裝成t，則因f(x)中1

實踐反饋 筆者利用從教的兩個班級做實驗，其中一個班級用前兩種方法講解，另一個班級用包裝法講解，所取得的效果差異顯著，包裝法明顯好于其他方法.

例2 求函數y=4x-2×2x-1，x∈［-1，2］的值域.

分析 顯然已知函數中隱藏著二次函數、指數函數，因此我們只需將它們包裝出來，再利用基本初等函數的相關知識解決即可.

解 令t=2x，則y=t2-2t-1，x∈［-1，2］.（構造了指數函數與二次函數，求值域的過程實則完成“接力跑”的過程，分別作出兩個函數的圖像，幫助直觀解題）

∵x∈［-1，2］，∴t∈12，4，∴y∈［-2，7］.

∴原函數的值域為［-2，7］.

小結 本題解題只需把原函數包裝成基本初等函數，然后完成變量之間的傳遞即“接力跑”，交接的過程中要注意“每棒成員”的改變即定義域的改變，用初等函數的性質要多借助圖像.本題三種方法中，包裝法的優勢在于其通俗化、生活化的語言讓學生能輕松理解，加之“接力跑”等形象的語言讓學生通過生活來理解數學的本質，突破理解上的障礙，從而培養了學生學習數學的興趣.

例3 已知函數f(x)為奇函數，當x>0時，f(x)=x2-sinx，求x<0時f(x)的解析式.

分析 x>0時f(x)是已知的，x<0時f(x)是未知的，按包裝法的思想，我們只需把未知量包裝成已知量，借已知來求未知，將x<0中的x包裝成-x，則-x>0，符合了已知函數的條件，包裝成功，此題的“包裝”也可理解成“化裝”.

解 x<0時，-x>0(把-x外加層包裝紙)，

則f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.

又 ∵f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x)=x2+sinx，

∴x<0時，f(x)=-x2-sinx.

例4 要得到函數y=sin2x-π3，(x∈R)的圖像，只需將函數y=sin2x，(x∈R)的圖像().

A.向左平移π3個單位長度

B.向右平移π3個單位長度

C.向左平移π6個單位長度

D.向右平移π6個單位長度

分析 圖像要平移，該怎么移，首先要理解圖像平移的本質，圖像之所以平移在于所有點的平移，在于兩個函數所經過的點的不同，因此從點入手分析才能真正理解問題的本質.

設函數y=sin2x過(x0，y0)，則sin2x0=y0，對函數y=sin2x-π3，我們只需把2x-π3包裝成2x0，則會有y=sin2x0=y0，再把2x0的包裝紙拆掉還原給2x-π3，得x=x0+π6.于是函數y=sin2x-π3，(x∈R)過點x0+π6，y0，從而發現(x0，y0)與x0+π6，y0的位置關系，選擇答案D.

以上例子都通過包裝的思想對函數作出包裝，其中的包裝有換元的意思，也有化裝的意思，有單層包裝也有多層包裝，但無論是哪種包裝，其本質在于化復合函數為基本初等函數，化未知函數為已知函數，化繁為簡.實踐證明，包裝法以它生活化的語言藝術達到了換元法所無法取得的效果，因此同一種方法，用不同的詞語，用不同的語言去描述，其效果差異往往會很大.作為數學教育工作者，我們應不斷地反思過去創新未來，跟進時代的步伐，要多用學生化、生活化、幽默化的語言來刻畫數學中的知識，讓數學學習變得更有趣，讓數學課堂語言變得更幽默，讓學生學習更輕松！

【參考文獻】

普通高中數學課程標準.北京：人民教育出版社，2003.