習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)

解題對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)有重要作用.但數(shù)學(xué)題目浩如煙海，因此有針對性地選擇一些題目，通過對這些題目的講解，使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，學(xué)會(huì)使用多種方法和技巧，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中一件非常有意義的事.下面就以題目為例，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中對習(xí)題處理的一些設(shè)想，僅供參考.

例1 若方程1+log2x=2log2(x-a)有且只有一解，求參數(shù)a的取值.

這是一道常見的習(xí)題，可利用求方程根的知識來解決此問題.

一、一題多變

1.化特殊為一般，討論方程1+log2x=2log2(x-a)的解的情況.

2.化等為不等，求不等式1+log2x<2log2(x-a)及1+log2x>2log2(x-a)的解集.

二、一題多解

在數(shù)學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入理解，研究習(xí)題，探求多種解法可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.這里對例1給出兩種求解方法.

分析 例1是一對數(shù)方程.求對數(shù)方程無一般解法，因此首先要做的就是將此方程化為更容易處理的形式，再進(jìn)行討論就容易了.

原方程等價(jià)于12log22x=log2(x-a)，即等價(jià)于方程2x=x-a在約束條件x>0和x-a>0下有且只有一解.

解 不妨令f(x)=2x，g(x)=x-a（x>0且x-a>0）.結(jié)論f(x)=g(x)有且只有一解等價(jià)于當(dāng)且僅當(dāng)f(x)的圖像與g(x)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn).這里就將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從形的角度來考慮，作出下列圖像（圖1、圖2）.

由圖1、圖2可知，當(dāng)a≥0時(shí)，y=2x與y=x-a的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，原方程只有一解.當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x的圖像與y=x-a相切時(shí)，它們只有一個(gè)交點(diǎn)，方程2x=x-a只有一解，于是方程x2-2(a+1)x+a2=0要滿足Δ=0，即a=-12.

綜上所述，原方程只有一解時(shí)，a的取值為{a|a=-12或a≥0}.

評注 (1)運(yùn)用了“數(shù)”與“形”的等價(jià)轉(zhuǎn)換.運(yùn)用“f(x)=g(x)有m個(gè)根(m為非負(fù)整數(shù))f(x)的圖像與g(x)的圖像有m個(gè)交點(diǎn)”這一結(jié)論直接由圖像得出結(jié)果.

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在整個(gè)實(shí)數(shù)集R上考慮其解的情況時(shí)要用Δ=b2-4ac來判斷，而考慮ax2+bx+c=0(a≠0)在實(shí)數(shù)集上的一個(gè)子集上的解的問題時(shí)，Δ=b2-4ac就不能解決問題了，而要構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，綜合考慮其對稱軸、極值點(diǎn)、開口方向、特殊點(diǎn)取值來解決問題.

三、一法多用

在例題教學(xué)中，讓學(xué)生掌握通性通法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，是教學(xué)的重點(diǎn).本例題的通法就是，在分類討論的基礎(chǔ)上，應(yīng)用函數(shù)思想，結(jié)合圖像解決問題.這是一種通法.下面利用這種思想方法解決一道高考題.

例2 （2006年浙遼高考題）設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0，求證：(1)a>0且-2

證明 (1)易證.

(2)f(x)的對稱軸為x0=-b3a，由(1)知13<-b3a<23，

即x0=-b3a∈ (0，1).

由a>0知f(x)的圖像開口向上，∵f(0)>0，f(1)>0，

因此只需證明有x′∈(0，1)，使得f(x′)<0即可，不妨考慮f(x0)=f-b3a=3ac-b23a.

由a+b+c=0，得b2=(a+c)2.

∴3ac-b2=-a2-c2+ac=-3a24-c-a22<0(a>0).

∵a>0，∴f-b3a<0.

由f(0)>0，知f(x)在0，-b3a內(nèi)與x軸有一交點(diǎn);

由f(1)>0，知f(x)在-b3a，1內(nèi)與x軸有一交點(diǎn).

又f(x)與x軸最多有兩交點(diǎn)，從而f(x)與x軸在0，-b3a與-b3a，1內(nèi)各有一交點(diǎn)，即得f(x)在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)根.

上面主要利用f(x)在x0=-b3a取極小值這一性質(zhì).但還有更省力的方法，簡要如下：

f12=3a4+b+c=a+b+c-a4=-a4<0.其他的證明過程類似.

波利亞說過：“一個(gè)有責(zé)任的教師與其應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義的，但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力.”因此，讓學(xué)生在理解題目的基礎(chǔ)上，獨(dú)立地提出一些與此有關(guān)的問題和結(jié)論，擴(kuò)展一些題目的數(shù)學(xué)功能，發(fā)展其教育功能，從解本題轉(zhuǎn)向獨(dú)立地提出類似問題和解答這些問題，這個(gè)過程可以讓學(xué)生形成類比概括能力，提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力和創(chuàng)造力.