淺談a_n+1=ma_n+p型遞推數列通項公式的求法

【摘要】本文就an+1=man+p型遞推數列分三種情況給出求其通項公式的解題思路，然后利用通項公式的結論，舉例說明求解這類問題的簡便方法.

【關鍵詞】遞推數列；通項公式；分類；解法

由數列相鄰幾項的關系式遞推所確定的數列，稱為遞推數列.為了確定數列的性質，經常需要探求這類數列的通項公式.本文就an+1=man+p型遞推數列給出求通項公式的方法，然后利用通項公式結論簡便求解.

設數列{an}：a1=a，an+1=man+p(n=1，2，…).

一、當m，p為常數時

∵ak+1=mak+p，ak=mak-1+p，

∴ak+1-ak=m(ak-ak-1)

=m2(ak-1-ak-2)

=…=mk-1(a2-a1)(k≥1).

即ak+1-ak=mk-1(a2-a1)(k≥1).

分別令k=1，2，…，n-1，將所得各式相加，得到

an-a1=(a2-a1)(1+m+m2+…+mn-2).

若m≠1，則an=amn-1+p(mn-1-1）m-1.

(*)

特殊情況（可直接得出）:

1.若m=1，此時{an}為等差數列，則通項為

an=a+(n-1)p.

2.若p=0，此時{an}為等比數列，則通項為

an=amn-1.

二、當m為常數，p為一等差數列的通項時

設p=b+(n-1)d（b，d為常數）.

∵ak+1=mak+b+(k-1)d，ak=mak-1+b+(k-2)d，

∴ak+1-ak=m(ak-ak-1)+d.

令bk=ak+1-ak，則有bk+1=mbk+b+d，于是利用上面一的結論，可以求得{bn}的通項，進一步再求數列{an}的通項公式.

三、當m為常數，p為一等比數列的通項時

設p=cqn-1（c，q為常數）.

∵ak+1=mak+cqk-1，

∴ak+1qk-1=mq#8226;akqk-2+c.

令ck=akqk-2，則有ck+1=mqck+c.

于是利用上面一的結論，可以求得{cn}的通項，進一步再求數列{an}的通項公式.

通過以上討論，可知對于an+1=man+p型遞推數列有以下結論：

1.當m，p為常數時，通項an=amn-1+p(mn-1-1)m-1，它是由兩部分組成，分別是以a1為首項，m為公比的等比數列的第n項及以p為首項，m為公比的等比數列的前n-1項和.記住這一特別的形式，通項公式就比較容易求出.

2.當p為等差數列或等比數列的通項時，通項公式十分復雜，只要我們轉化思路，就可以較方便地解出.

例1 已知數列{an}中，a1=2，an+1=2an+1(n≥1)，求數列的通項an.

解 以a1=2，m=2，p=1代入公式（*），得

an=2×2n-1+1#8226;(2n-1-1)2-1=3×2n-1-1.

例2 已知數列{an}中，a1=5，an+1=15an+2n+1(n≥1)，求數列的通項an.

解 令bn=an+1-an，則bn+1=15bn+2.

又 ∵a2=4，

∴b1=a2-a1=-1.

以b1=-1，m=15，p=2代入公式（*），得

bn=-15n-1+215n-1-115-1

=-7215n-1+52，

即an+1-an=-7215n-1+52，

∴an+1-a1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)

=-7215n-1+15n-2+…+1+52n

=35815n+52n-358..

于是an+1=35815n+52n+58，

∴an=35815n-1+52n-158.

例3 已知數列{an}中，a1=1，an=3an-1+2n-1(n≥2)，求數列的通項an.

解 令cn=an2n-1，則有

c1=a1=1，cn+1=32cn+1.

以c1=1，m=23，p=1代入公式（*），得

cn=an2n-1=32n-1+32n-1-132-1

=3#8226;32n-1-2=3n-2n2n-1，

∴an=3n-2n.

【參考文獻】

羅增儒.數學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，2001.