黃金分割與黃金圖形

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

引一引 （多媒體展示三則材料）

材料一 如果你曾經(jīng)留心看過，中央電視臺春節(jié)文藝聯(lián)歡晚會主持人或演員在舞臺上站立的位置，你就會發(fā)現(xiàn)，他們總是選擇舞臺靠左或靠右處站立，而不站在最中間，這是為什么呢？

材料二 身材高挑、姿態(tài)優(yōu)美的時裝模特在表演時，無不穿著鞋跟很高的高跟鞋，這么高的身材還有必要再穿鞋跟很高的鞋嗎？

材料三 19世紀(jì)中葉，德國心理學(xué)家費希納曾經(jīng)做過一次別出心裁的試驗，他召開了一次“矩形展覽會”.會上展出了他精心制成的各種矩形，并要求與會者投票選擇各種自認(rèn)為最美的矩形，結(jié)果以下四種矩形入選（長×寬）：（1）8×5；（2）13×8；（3）21×13；（4）34×21.這些矩形為什么會被人們選中呢？

事實上，上述三則材料中問題的答案都與黃金分割有關(guān).因為黃金分割能使人產(chǎn)生視覺的美感，給人以美的享受.本節(jié)課與同學(xué)們一起來學(xué)習(xí)和探究一些黃金圖形.

二、閱讀材料，提出問題

讀一讀 請同學(xué)們仔細(xì)閱讀材料.（默讀）

問一問 你感到文章中有哪些不懂或疑惑之處？你能提出哪些問題？（以四人一小組，分工合作，組內(nèi)討論）

集一集 教師收集學(xué)生的困惑與問題.

下面就一些重點問題列舉幾個如下：

（1）為什么當(dāng)矩形長和寬a，b(a>b)滿足b2=a#8226;(a-b)時，這個矩形就是黃金圖形？這與定義ba=0.618有何聯(lián)系？

（2）如圖1，黃金三角形的頂角度數(shù)是定值嗎？如果是，它是多少度呢？

（3）如圖2，黃金△ABC，△BCD，△ECD，△GCE……的周長之間有什么關(guān)系？面積之間又有什么關(guān)系？

（4）如圖3，在一個黃金矩形中剪去一個正方形后所得的矩形仍為黃金矩形.若第1個黃金矩形A1B1C1D1的面積記為S1，第2個黃金矩形A2B2C1D1的面積記為S2，第3個黃金矩形A3B2C1B3的面積記為S3，……依次類推，記第n個黃金矩形面積為Sn，則Sn與S1之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

三、剖析材料，解決問題

根據(jù)學(xué)生提出的問題，有針對性地解決其中幾個問題.

問題1 為什么當(dāng)矩形長和寬a，b(a>b)滿足b2=a#8226;(a-b)時，這個矩形就是黃金圖形？這與定義ba=0.618有何聯(lián)系？

做一做 ∵b2=a#8226;(a-b)，

∴b2+a#8226;b-a2=0，ba2+ba-1=0.

設(shè)ba=x(0

又 ∵0

問題2 黃金三角形的頂角度數(shù)是定值嗎？如果是，它是多少度呢？（選擇圖1（1）作出回答）

做一做 方法1：如圖4，在AC邊上取AD=b，連接BD.

由ba=0.618可知b2=a(a-b)，

即BC2=CD#8226;CA，可得△BCD∽△ABC，

∴∠C=∠CDB=∠ABC，∠A=∠CBD.

∴AD=BD.

不妨設(shè)∠A=x，則∠C=∠CDB=2x.

∴x+2x+2x=180°，x=36°，即x=36°.

方法2：如圖5，過點A作AD⊥BC于點D，

則sin∠BAD≈0.6182=5-14，

得∠BAD=180°，∴∠BAC=36°.

四、貼近材料，延伸拓展

拓一拓 是否還有黃金五邊形、黃金六邊形等其他的黃金圖形呢？（分小組合作查找有關(guān)黃金圖形資料后，分小組匯報）

第一小組 黃金梯形

定義 腰和上底相等，對角線和下底相等的等腰梯形叫做黃金梯形.如圖6，在梯形ABCD中，若AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，則梯形ABCD稱為黃金梯形.

特點 ①△ABC（或△DCB）為黃金三角形；②黃金梯形的底（或腰）與下底（或?qū)蔷€）的比為5-12，即ADBC=5-12≈0.618.

第二小組 黃金五邊形（略）

第三小組 黃金扇形（略）

五、小結(jié)收獲，布置作業(yè)

說一說 以小組為單位，小結(jié)學(xué)習(xí)本課題的收獲.

做一做 ①請你再列舉幾個生活中黃金分割的例子.

②利用所選的三種黃金圖形，你又能提出哪些有價值的問題？

③完成課內(nèi)同學(xué)提出的其他幾個沒有解決的問題.

④在正n邊形中，除正五邊形是黃金五邊形外，是否還有其他黃金多邊形？