數學思想在高中數學教學中的應用

【摘要】對于數學來說，數學思想是它的靈魂，數學方法則是它的行為.本文章主要對高中數學教學中一些常用到的數學思想在數學教學中的應用進行深入地分析.

【關鍵詞】數學思想；高中；數學教學

一、函數思想

在高中數學教學當中，函數思想就是指通過函數的定義和性質來轉化和分析問題，最終解決問題.一般情況下，解函數題型時，是借用函數思想所構造的函數進而使用其性質去解題的.所用到的函數性質有：f(x)和f′(x)的單調性、周期性、圖像變換和其奇偶性以及最大值和最小值等.對學生們的要求就是熟練使用一次函數、二次函數和三角函數、指數函數以及冪函數、對數函數的具體特性.如果熟練地掌握了這些函數的特性，在解題時，就方便挖掘題目中一些隱含的條件.而應用函數思想的關鍵主要是構造其函數的解析式和妙用函數的性質.當全面而又深入地對所給的問題進行觀察和判斷時，對構造出的函數題型才能容易產生由此至彼的聯系.

例1 已知a，b，c都是正數，且abc=8，求證：

a+b+c3+3a+b+c≥52.

分析 注意到不等式左邊是互為倒數的兩個式子之和，引入函數f（x）=x+1x，易知f（x）在［1，+∞）是增函數.

又 a，b，c∈R+，

∴a+b+c3≥3abc=2，∴fa+b+c3≥f(2)=52.

這正是所要證的不等式.

二、分類討論

在解答一些數學問題時，經常會遇到一個問題可以用多種方法進行解答的題型，這時，就需要根據每種情況進行分類分析，并根據每類分析最終得到題解.這就是數學思想中的分類討論.在數學思想中，分類討論是一種邏輯方法，在數學思想中是一種重要的數學思想，也可以說它也是一種很重要而又容易解題的方法.從這種解題方法中，老師和學生都可以看出分類討論這種方法能體現化整為零和積零為整的思想和歸類整理.一些分類討論思想的數學問題，在邏輯性和探索性以及綜合性方面表現得很突出，這些可以訓練學生思維上的條理性和概括性，這對于他們在高考中進行發揮時有很重要的作用.一般情況下，在進行分類討論時，要遵循以下幾個原則：要先確定分類對象，統一標準，同時不能重復也不能遺漏，再進行明確的劃分，并主次分明.這些原則中，最主要的就是不能重復也不能遺漏.如果出現這種情況，所得到的結果一定不正確.而在解答分類討論的問題時，要掌握基本的方法和步驟：第一，討論的對象要確定，所討論的對象所涉及的范圍也要考慮得周全；第二，分類標準要確定，并進行合理的分類，分級進行，最終可以得到階段性的解答；第三，對所得到的小結進行歸納，并綜合得出結論.對分類討論的步驟簡單總結就是：1.確定標準；2.合理分類；3.逐類討論；4.歸納總結.

例2 設函數f（x）＝ax2－2x＋2，對于滿足1

分析 含參數的一元二次函數在有界區間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區間的關系進行分類討論，最后綜合得解.

解 由圖1可知：當a>0時，

f（x）＝ax-1a2＋2－1a.

∴1a≤1，f（1）=a-2+2≥0或

1<1a<4，f1a=2-1a>0或

1a≥4，f(4)=16a-82≥0.

∴a≥1或12

當a<0時，f（1）=a-2+2≥0，f（4）=16a-8+2≥0；

當a=0時，f（x）=-2x+2，f（1）=0，f（4）=-6，

∴不合題意.

由上可得，實數a的取值范圍是a>12.

三、在解題的教學中領悟數學思想方法

對數學進行各種方法進行解答的教學方式，不僅可以幫助學生掌握和運用一些數學基礎知識，同時，也讓學生們從解題中領悟到數學的思想方法.在學生的習題當中，每類解題方法的典型例題有很多，通過練習這些習題，可以挖掘學生們解題的思想過程以及解題方法，當對一些題型很感興趣或者掌握得很不錯時，他們就會自己綜合一些題型來歸納總結，這些總結在他們學習數學的過程中有很大的幫助.所以，老師在進行傳授解數學題時，要運用多種數學方法來解題，這樣可能幫助學生在自己解題的過程中，發現每種數學結構和數學運算間的關系，并建立和運用它們間的聯系點和變化以及轉化等，在此基礎上就可以慢慢接受數學思想和方法，學生的思維能力也會漸漸得到提高.

例3 已知a，b，c，d都是實數，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

我們用綜合法、比較法、分析法證明后，還可啟發學生積極思維，得出三角證法：設b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ，則|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(a-β)|≤1.

另還可得出幾何證法：如圖2，畫直徑為AB=1的圓，作圓內接四邊形ABCD，設AC=|a|，BC=|b|，BD=|c|，DA=|d|，a，b，c，d為實數，則a2+b2=1，c2+d2=1，由托勒密（Ptolemy）定理，得到|ac+bd|≤||a|#8226;|c|+|b|#8226;|d||=|AB×CD|=|CD|≤1.

學生只有掌握了解題的方法，才會形成解題的思想，才能最終受益終生.有一位國外有名的數學家和教育家曾這樣認為：數學知識對于從事科學的人員來說是遠遠不足的，但這些工作人員必須具備數學思想和方法以及精神卻是十分必要的；數學精神和思想以及方法在科學工作中永遠都發揮著不可替代的作用.

【參考文獻】

徐廣華.數形結合思想在解題中的應用［J］.中學數學教與學，2008（2）.