關于楊輝三角系數分布規律的一點推廣

【摘要】研究了楊輝三角四項式及更高項數的系數.在簡單情形下，對系數分布提出猜想并驗證，進一步在一般情形下給予嚴格的理論證明.在“三項式系數的規律”的基礎上，得到了四項式系數的規律，即“四面體法則”.在瑞士數學家克雷夫里提出的n維立方體的基礎上，提出n維廣義楊輝四面體的概念，針對更高項式引出“m維廣義楊輝四面體法則”，即相應的系數分布規律.對后面兩者給出了證明.

【關鍵詞】楊輝三角；三項式系數；四項式系數；n維立方體；n維廣義楊輝四面體

一、問題提出

我國古代數學家楊輝與賈憲給出了形如(x+y)n展開式的系數分布情況.自1994年以來不少數學工作者描述并證明了三項式系數分布的規律.很自然地會想到：對于底數中的項數在不斷增加時，相應的展開式各項的系數會具有什么樣的規律性呢?

二、求解過程

定理1(楊輝三角) (1)二元k次冪(x+y)n自由度可以用一個三角形排列來表示(圖1).(2)二元k次冪(x+y)n各自由度的系數可以用一個三角形表示(圖2).

關于圖19的討論:(1)在圖19中四面體的內部首次出現了一個系數.事實上，在圖18的內部首次出現了一個倒置的正四面體(以4個“6”為頂點).

（2）圖19四面體中心處系數為24.而其他的系數不難通過前面的敘述（m=3）得出.

（3）在圖19中我們看到出現了新的以表面三角形上面的點為頂點的正四面體，其數目是4個.由此可知，在下一級的圖形內部將會出現4個系數.至于次數n=4，5，6，7，…的情形顯然可以依次得到.其中各個面的系數情況與元數m=3平面上面相同次冪的系數相同.當元數m=5，6，7，…時，即很難給出直觀圖形解釋相應的系數情況.然而，無論維數和次數怎么增加，其展開式中的每一項的系數仍可以通過較低元的情況推出.這是因為，根據歐幾里得幾何理論，每三個點可以確定一個平面，從而總是可以轉化成元數m=3的情形.顯然，大三角形的數目即平面數為C3m.換句話說，即有：

定理3(四面體法則) 對于四項式系數，其系數分布有以下規律：

（1）每一個表面上的系數必定落在表面三角形的某交點上.

（2）有一些項的系數不落在任何已知的表面三角形上面.將整個四面體正置.n=k+1次冪的系數為相應n=k次冪系數倒置的單位正四面體各個頂點系數之和，其位置位于這個倒置的單位正四面體的體心處.

證明 對于各個表面的系數遞推式可以沿用三元的情形，不再重復.

記四元n次冪各項的系數為Dk，h，l，gn，其中n為次數，k，h，l，g分別為三個變元x，y，z，u的次數.易知有Dk，h，l，gn=n!k!h!l!g!，其中k+h+l+g=n，k，h，l，g，n均為非負整數.注意到系數分布的對稱性.對圖中各個系數的排列分析，進行編號.記(k，h，l)表示相應的項為ykzhulxn-k-l-h.例如，對四元四次冪的系數分布圖19進行分析，用平行于左側面的平面截四面體得到5個截圖（包括左側面）π1，π2，π3，π4，π5，其各點的編號情形如圖20至圖23所示.易見，π5是一個單點(0，0，5).類似于前面的分析，如上圖，按照平行于左側的平面將圖形截成若干部分.按照這樣的做法，只需要證明如下等式即可.

Dk，h，l，n-k-h-ln+Dk，h-1，l+1，n-k-h-ln+Dk-1，h，l+1，n-k-h-ln+Dk，h，l+1，n-k-h-l-1n=Dk，h，l+1，n-k-h-ln+1.

將兩邊同時展開，即有k+h+l+1l+1=k+h+l+1l+1，這是一個恒等式.

類似的，有更一般的結果：

定理4(m維廣義楊輝四面體法則) 對于m維廣義楊輝四面體，其系數分布有以下規律：

（1）每一個表面上的系數必定落在表面三角形的某交點上.

（2）有一些項的系數不落在任何已知的表面三角形上面.將整個m維廣義楊輝四面體正置.

其位置位于這n=k+1次冪的系數為相應n=k次冪系數倒置的單位m維廣義楊輝正四面體各個頂點系數之和，其位置位于倒置的單位m維廣義楊輝正四面體的體心處.

證明 m維正三角體對應于m+1元n次冪.記m+1元n次冪各項的系數為Dk1，k2，k3，…，km，km+1n，其中n為次數，k1，k2，k3，…，km，km+1分別為三個變元x1，x2，x3，x4，…，xm，xm+1次數，且有∑m+1i=1ki=n.

易知有Dk1，k2，k3，…，km，km+1n=n!k1!k2!…km+1!，其中k1，k2，k3，…，km，km+1，m，n均為非負整數.注意到系數分布的對稱性.現在對于m維廣義楊輝四面體進行分析，只需要證明如下等式即可.

Dk1，k2，k3，…，km，n-k1-k2-k3-…-km-1-kmn+

Dk1，k2-1，k3，…，km+1，n-k1-k2-k3-…-km-1-kmn+

Dk1-1，k2，k3，…，km+1，n-k1-k2-k3-…-km-1-kmn+…+

Dk1，k2，k3，…，km-1，km+1，n-k1-k2-k3-…-km-1-km-1n

=Dk1，k2，k3，…，km-1，km+1，n-k1-k2-k3-…-km-1n.

直接將兩邊同時展開，即有

1+k1+k2+k3+…+km-1km+1+n-k1-k2-…-kmkm+1=n+1km+1.

3.關于所謂“m維廣義楊輝四面體”的說明

在1852年，瑞士數學家克雷夫里就給出了k維立方體的概念.

定義1 (1)單個點是0維立方體.

(2)設已得到k維立方體Fk(Rk)，將其沿第k+1維方向lk+1（lk+1⊥lk，i=1，2，3，4，…，k）移動一個單位，移動前后的兩個k維立方體Fk前和Fk后及它們所夾的部分共同構成的幾何體Fk+1：(Fk前-Fk后)Rk+1稱為k+1維立方體.

為了能夠繼續探討，引入m維廣義楊輝四面體的概念.類似的，我們定義“k維廣義楊輝四面體”.

定義2 (1)單個點是0維廣義楊輝四面體.

(2)設已得到k維廣義楊輝四面體Fk(Rk)，將其沿第k+1維方向 lk+1（lk+1⊥lk，i=1，2，3，4，……，k）取一個點Pk+1，使得其距離到其他已知點的距離均為單位長度，從這個點到k維廣義楊輝四面體Fk的引線及它們所夾的部分共同構成的幾何體Fk+1：(Pk+1-Fk)Rk+1，稱為k+1維廣義楊輝四面體.

三、結 語

通過上面的討論，基本上解決了(x1+x2+x3+…+xm)n的系數分布問題.

【參考文獻】

［1］何中洛.關于推廣的楊輝三角［J］.教與學，1979（1）.

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［3］何秀娟，黃雪濤.楊輝三角在三維空間的推廣［J］.雁北師范學院學報，2001(1).

［4］陳春江.三項式系數的規律［J］.曲靖師范學院學報，2004，23(3).

［5］戴榮發，王躍進. n維立方體的棱面關系與楊輝三角的推廣［J］.河南師范大學學報，1995，23（4).

基金項目：東華理工大學研究生創新項目基金（DYCA10014）.