淺析一元二次方程及解法

一元二次方程是初中數學中的重要內容，學習和運用一元二次方程，不僅可鞏固和加深對已學過的數與式及運算和一元二次方程及解法的認識．同時也是學習二次函數、一元二次不等式、二次曲線的基礎。為更好掌握這部分內容應該注意以下幾個問題：

一、準確把握一元二次方程的定義

只含有一個未知數并且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫一元二次方程。準確把握定義應該注意三個條件，缺一不可。

1．只含有一個未知數；

2．未知數的最高次數是2；

3．必須是整式方程，如： +2x=0雖然只含一個未知數，未知數的最高次數是2，但不是整式，所以也不是一元二次方程。

二、牢固掌握一元二次方程的一般形式

即：經過整理化為ax2+bx+c=o(a≠O)的形式，其中ax2叫二次項，a Hq二次項系數’bx叫做一次項，b叫一次項系數，c叫做常數項。

注意：

(1)二次項系數a≠0，如果a=0那么二次項等于0，方程就不是一元二次方程了。

(2)無論二次項系數還是常數項，都要注意符號。

例1．一元二次方程3x2-5x-12=0二次項是3x2，二次項系數是3，一次項是-5x，一次項系數是-5，常數項是-12．

三、熟練掌握一元二次方程的基本解法

(一)直接開方法。這種方法用于形如(x+a)2=b(b≥O)的一元二次方程，關鍵是掌握方程的特點：

1．方程左邊必須是完全平方的形式；

2．方程右邊是非負數，利用平方根定義直接開方。

例2．解方程(x+3)2=2

解：因為X+3是2的平方根所以X+3=±

即X+3=或X+3=-

所以x1=-3+，x2=-3-

(二)配方法。

把一般的一元二次方程設法變成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解。

配方的關鍵是：

1．把二次項系數化為1；

2．方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方。

強調：當一次項系數不是2的倍數，特別是分數時，計算易出錯，應特別注意。

例3．解方程：x2-4x-3=0

解：移項得：x2-4x=3

配方得：x2-4x+(-2)2=3+(-2)2

(x-2)2=7

解這個方程得：x-2=±

即：x1=2+，x2=2-

例4．解方程：2x2+3=7x

解：移項得：2x2-7x+3=0

把方程的各項都除以2得： x2- x+=0

即：x2- x=-

配方得：x2- x+(- )2=- +(- )2(x- )2=

解這個方程得：x- =±

即：x1=3，x2=

(三)公式法。解一元二次方程時，先把方程化為一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把各項系數a、b、c的值代入x= (b2-4ac≥0)，求得方程的根。關鍵問題是：

1．必須把方程化為一般形式；

2．強調b2-4ac≥0；

3．確定a、b、c的值時注意符號。

例5．解下列方程：

(1)2x2+7x=4

解：移項得：2x2+7x-4=0

∵ a=2b=7c=-4

b2-4ac=49-4×2×(-4)=81>0 ?

∴x==

∴x1=，x2=-4

(四)因式分解法。基本思想和方法根據是：如果兩個因式的積等于0；那么這兩個因式至少有一個等于0；反過來，如果兩個因式有一個等于0，他們的積等于0。方程的特點是：

1．一元二次方程的一邊是0；

2．方程的另一邊能分成兩個一次因式。

值得注意的是：解方程時不能兩邊同時除以含有未知數的代數式，否則容易丟根。

例6．解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)

解：原方程可變形為：

3x(x+2)-5(x+2)=0

(x+2)(3x-5)=0

X+2=0或3x-5=0

x1=-2，x2=

特點：變形后能提公因式。

(2)(3x+1)2-5=0

解：原方程可變形為：

[(3x+1)+][(3x+1)-]=0

3x+1+=0或3x+1-=0

x1=，x2=

特點：變形后能用平方差公式。

(3)x2-10x+16=0

解：原方程可變形為：

(x-2)(x-8)=0

x-2=0或x-8—0

x1=2，x2=8

特點：變形后能用二次三項式分解因式。

以上對一元二次方程的定義及解法中應注意的問題進行了歸納總結，其中公式法對于解任何一元二次方程都適用，是解一元二次方程的主要方法，但解題時應具體分析方程的特點。選擇適當的方法。