淺析一元二次方程及解法

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，學(xué)習(xí)和運(yùn)用一元二次方程，不僅可鞏固和加深對(duì)已學(xué)過(guò)的數(shù)與式及運(yùn)算和一元二次方程及解法的認(rèn)識(shí)．同時(shí)也是學(xué)習(xí)二次函數(shù)、一元二次不等式、二次曲線的基礎(chǔ)。為更好掌握這部分內(nèi)容應(yīng)該注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

一、準(zhǔn)確把握一元二次方程的定義

只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫一元二次方程。準(zhǔn)確把握定義應(yīng)該注意三個(gè)條件，缺一不可。

1．只含有一個(gè)未知數(shù)；

2．未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3．必須是整式方程，如： +2x=0雖然只含一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，但不是整式，所以也不是一元二次方程。

二、牢固掌握一元二次方程的一般形式

即：經(jīng)過(guò)整理化為ax2+bx+c=o(a≠O)的形式，其中ax2叫二次項(xiàng)，a Hq二次項(xiàng)系數(shù)’bx叫做一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)。

注意：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，如果a=0那么二次項(xiàng)等于0，方程就不是一元二次方程了。

(2)無(wú)論二次項(xiàng)系數(shù)還是常數(shù)項(xiàng)，都要注意符號(hào)。

例1．一元二次方程3x2-5x-12=0二次項(xiàng)是3x2，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)是-5x，一次項(xiàng)系數(shù)是-5，常數(shù)項(xiàng)是-12．

三、熟練掌握一元二次方程的基本解法

(一)直接開(kāi)方法。這種方法用于形如(x+a)2=b(b≥O)的一元二次方程，關(guān)鍵是掌握方程的特點(diǎn)：

1．方程左邊必須是完全平方的形式；

2．方程右邊是非負(fù)數(shù)，利用平方根定義直接開(kāi)方。

例2．解方程(x+3)2=2

解：因?yàn)閄+3是2的平方根所以X+3=±

即X+3=或X+3=-

所以x1=-3+，x2=-3-

(二)配方法。

把一般的一元二次方程設(shè)法變成(x+m)2=n的形式，再用直接開(kāi)平方法求解。

配方的關(guān)鍵是：

1．把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

2．方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

強(qiáng)調(diào)：當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不是2的倍數(shù)，特別是分?jǐn)?shù)時(shí)，計(jì)算易出錯(cuò)，應(yīng)特別注意。

例3．解方程：x2-4x-3=0

解：移項(xiàng)得：x2-4x=3

配方得：x2-4x+(-2)2=3+(-2)2

(x-2)2=7

解這個(gè)方程得：x-2=±

即：x1=2+，x2=2-

例4．解方程：2x2+3=7x

解：移項(xiàng)得：2x2-7x+3=0

把方程的各項(xiàng)都除以2得： x2- x+=0

即：x2- x=-

配方得：x2- x+(- )2=- +(- )2(x- )2=

解這個(gè)方程得：x- =±

即：x1=3，x2=

(三)公式法。解一元二次方程時(shí)，先把方程化為一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把各項(xiàng)系數(shù)a、b、c的值代入x= (b2-4ac≥0)，求得方程的根。關(guān)鍵問(wèn)題是：

1．必須把方程化為一般形式；

2．強(qiáng)調(diào)b2-4ac≥0；

3．確定a、b、c的值時(shí)注意符號(hào)。

例5．解下列方程：

(1)2x2+7x=4

解：移項(xiàng)得：2x2+7x-4=0

∵ a=2b=7c=-4

b2-4ac=49-4×2×(-4)=81>0 ?

∴x==

∴x1=，x2=-4

(四)因式分解法。基本思想和方法根據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于0；那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于0，他們的積等于0。方程的特點(diǎn)是：

1．一元二次方程的一邊是0；

2．方程的另一邊能分成兩個(gè)一次因式。

值得注意的是：解方程時(shí)不能兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，否則容易丟根。

例6．解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)

解：原方程可變形為：

3x(x+2)-5(x+2)=0

(x+2)(3x-5)=0

X+2=0或3x-5=0

x1=-2，x2=

特點(diǎn)：變形后能提公因式。

(2)(3x+1)2-5=0

解：原方程可變形為：

[(3x+1)+][(3x+1)-]=0

3x+1+=0或3x+1-=0

x1=，x2=

特點(diǎn)：變形后能用平方差公式。

(3)x2-10x+16=0

解：原方程可變形為：

(x-2)(x-8)=0

x-2=0或x-8—0

x1=2，x2=8

特點(diǎn)：變形后能用二次三項(xiàng)式分解因式。

以上對(duì)一元二次方程的定義及解法中應(yīng)注意的問(wèn)題進(jìn)行了歸納總結(jié)，其中公式法對(duì)于解任何一元二次方程都適用，是解一元二次方程的主要方法，但解題時(shí)應(yīng)具體分析方程的特點(diǎn)。選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>