關于勾股定理的一些思考

摘要：勾股定理是一條古老而又應用十分廣泛的定理。在數學史上它的發現是偉大的！最早勾股定理應用是公元前11世紀，而現在勾股定理在數學中和生活中應用相當廣泛，甚至用于宇宙探索。并且它在代數研究中取得了巨大的成就。在前人不懈的努力下我們對勾股定理有了一些教學建議。

關鍵詞：勾股定理 應用 證明 代數

勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2

1、數學史上的勾股定理

1．1勾股定理的來源

勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。

1．2最早的勾股定理應用

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

1．3在代數研究上取得的成就

例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀，我國數學著作《九章算術》中記載了一種求整勾股數組的法則，用代數方法很容易證明這一結論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發現勾股定理，不是一蹴而就，而是經歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。

2、勾股定理的一些運用

2．1在數學中的運用

勾股定理是極為重要的定理，其應用十分廣泛.同學們在運用這個定理解題時，常出現這樣或那樣的錯誤。為幫助同學們掌握好勾股定理，現將平時容易出現的錯誤加以歸類剖析，供參考。

2．1．1錯在思維定勢

例1一個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。

錯解：設第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。

剖析：由于受勾股定理數組5、12、13的影響，看到題設數據，一些同學便斷定第三條邊是斜邊.實際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。

正解：設第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.

2．2勾股定理在生活中的用

工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等

農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。木匠先是量出一個對邊相等的四邊形，這樣就保證這個四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調整的另外兩個斷點間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個過程中，木匠實際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。

2．3宇宙探索

幾十年前，有些科學家從天文望遠鏡中看到火星上有些地區的顏色有些季節性的變化，又看到火星上有運河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區，但是他們都很早并且獨立的發現了勾股定理。科學家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？現在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯系的努力，怎樣跟他們聯系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數學家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發現的勾股定理，現在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發揮作用。

看來，勾股定理不僅僅是數學問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標志！她是人們文化素養中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現代文明人！

3、對勾股定理的一些建議

3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗證勾股定理；

經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。拼圖的過導學生自主探索，合作交流。這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，有效地激發學生的思維積極性。鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識。

3．2發展合情推理的能力，體會數形結合的思想；

了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想．教師在進行數學教學活動時，如果只以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，毫無疑問，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展，但是，除院校的教育教學活動（以教材內容為素材)以外，還有很多活動也能有效地發展學生的合情推理能力，例如，人們日常生活中經常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進一步拓寬發展學生合情推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“數學”，有“合情推理”，養成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習慣。

在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會數形結合思想，激發探索熱情。回顧、反思、交流．布置課后作業，鞏固、發展提高。

3．3能運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，提高數學應用能力；

勾股定理及其逆定理是中學數學中幾個重要的定理之一，在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現了由“形”到“數”和由“數”到“形”的數形結合思想.勾股定理在解決三角形的計算、證明和解決實際問題中得到廣泛應用，勾股定理的逆定理常與三角形的內角和、三角形的面積等知識綜合在一起進行考查.對于初學勾股定理及其逆定理的學生來說，由于知識、方法不熟練，常常出現一些不必要的錯誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關習題進行分析、說明其易錯點，希望幫助同學們避免錯誤，走出誤區。

4、小結

總體來說，勾股定理的應用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內容，初步學會用它進行有關的計算、作圖和證明。應用主要包括：

1、勾股定理在幾何計算和證明的應用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。

2、在代數中的應用：勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。

3、勾股定理在生活中的應用：工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理。

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