三類含絕對值函數最值的討論

函數y=f(x)=x-1+x-2+x-3+…x-n(其中n∈N)討論：函數y=f(x)的最大值顯然不存在；

下面討論函數y=f(x)的最小值；

當n為偶數時：

由絕對值的幾何意義得：x∈，+1時，

y=1+3+5…（n-1）=.=；

當n為奇數時：

有絕對值的幾何意義得：x=時，

y=2+4+6+…+(n-1)=.=

函數y=f(x，x…x)=x-1+x-2+x-3+…+x-n

（其中x，x，x…x是1，2，3…n的任意一個排列，n∈N）

討論：函數y=f(x，x…x)的最小值是顯然是0；

下面討論函數y=f(x，x…x)的最大值：

∵maxa，b=（a+b+a-b） a，b∈R

∴a-b=2maxa，b-a-b

∴x-1=2maxx，1-x-1

x2-1=2maxx，2-x-2

…………

x-n=2maxx，n-x-n

y=x-1+x-2+x-3+…+x-n

則有=2maxx，1+maxx，2+……maxx，n-n(n+1)

當n為偶數時：

x，x，x…x是+1，+2，+3…+的一個排列，

x，x，x…x是1，2，3…的一個排列時：

y=2×2（+1）+(+2)+…+(+)-n(n+1)

=

當n為奇數時；

x，x，x… x，x是，+1+2…+的一個排列

x，x…x是1，2，3…的一個排列：

y=2+2(++………)-n(n+1)

=n+1+2(n+3)+(n+5)+2n-n(n+1)

=n+1+2..-n(n+1)=

函數y=f(x，x…x)=…x-x-x-…x

(x，x…x是1，2…n的一個排列，其中n∈Nn≥4)

討論：函數y=f(xx…x)=…x-x-x-…x

根據絕對值的定義及x-x＜maxx，x

其中1≤i＜j≤n，i，j∈N

化簡后的結果是：y=f(x，x…x)=a-b，則0≤a-b≤n，(1)

其中1≤a，b≤n，a，b∈N

根據兩個整數的和與差奇偶相同得到：

xi與函數y=f(x，x…x)的函數值具有相同的奇偶性，（2）

∵‖n-(n+2)-(n+3)-(n+1)=0，n3∈N(3)

∵xi為奇數，由（2）得：函數y=f(x，x…x)的函數值為奇數

∴函數y=f(x，x…x)≥1

若x=4k+2，x=4k+4，x=4k+5

x=4k+3 k∈N，x=1

則y=1

若x=4k+1，x=4k+3，x=4k+4

x=4k+2 k∈N，x=n

y=n;

同理可得：

當n≡2（mod4）時：y=1;y=n-1

當n≡3（mod4）時；y=0;y=n-1

說明：第三類函數對于n∈N也是成立的。

(作者單位：浙江省溫州市第五十一中學)

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