方法領悟 游刃有余

【摘要】函數解析式是函數的表示方法中最常用的一種，它是用一個等式表示函數定義域與值域之間的對應關系，求函數解析式是中學數學一個比較重要的內容。本文介紹了求函數解析式的代入法、換元法、待定系數法、函數方程法、參數法等五種方法。

【關鍵詞】函數；解析式；方法

函數解析式是函數的表示方法中最常用的一種，它是用一個等式表示函數定義域與值域之間的對應關系，求函數解析式是中學數學一個比較重要的內容，從多年的高考試題可以看出，與函數解析式有關的試題時有出現，且往往是根據條件求解析式的居多，所以，解析式問題絕不可小視。

一、代入法

由已知條件f[g(x)]=F(x)，要將F（x）改寫成g(x)的表達式，然后以x代入g(x)，便得f(x)的表達式，常需“湊配”。

例如：已知f(x+)=x++10，求f(x)的解析式。

因為f(x+)=x++10=(x+)+8，函數好比一臺機器，放入一個自變量，通過對應法則的作用，生產出唯一的函數值。這里，放入x+，得到了（x+）+8。所以對應法則是：（自變量）2+8

所以便得f(x)=x+8

說明:這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。

二、換元法

由已知條件f[g(x)]=F(x)，可令t=g(x)，然后反解出x=g-1(t)，代入F(x)即可得f(t)的表達式。

例如：已知f(3x+1)=9x-6x+5. 求f(x)

分析：視3x+1為一整體，應用數學的整體化思想，換元即得。

解：令3x+1=t. 則x=

則 f (t)=9 ()2-6（）+5

化簡后便得f (t)=t2-4t+8

所以f (x)=x-4x+8

說明:f(x)，f(t)都是同一個對應法則，只是自變量的表示不同，從函數來看沒有區別。 換元后要確定新元t的取值范圍。

三、待定系數法

只要清楚函數解析式的類型，就可以設出函數解析式，再設法求出其中的系數。

例如：設二次函數f (x)滿足f (-x)=f (x)，且與y軸的交點為( 0.2 )。在x軸上截得的線段長為，求f (x)的解析式分析：由于f(x)是二次函數，其解析式的基本結構已定，可用待定系數法處理。

解：設f (x)=ax+bx+c( a≠0)，y=f (x)的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為x與x。

由已知a(-x)+b(-x)+c=ax+bx+cf(0)=c=2x-x==

整理得b=0c=2a=-4

所以f (x)=-4x+2

類似的已知f(x)為一次函數時，可設f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函數時，可設f(x)=(k≠0)；f(x)為二次函數時，根據條件可設

①一般式：f(x)=ax+bx+c(a≠0)

②頂點式：f(x)=a(x-h)+k(a≠0)

③雙根式：f(x)=a(x-x)(x-x)(a≠0)

四、函數方程法

將f(x)作為一個未知數來考慮，建立方程（組），消去另外的未知數便得f(x)的表達式。

例如：已知3f (x)+5f()=2x+1.求f (x)

分析：求函數y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f()，不難想到再尋找一個方程，構成方程組，消去f()得f(x)。如何構成呢？充分利用x和的倒數關系，用去替換已知中的x便可得到另一個方程。

解：因為3f(x)+5f()=2x+1 ①

將x換成，則換成x

得3f ()+5f (x)=+1 ②

把當作未知數，解由①②組成的方程組消去f ()，得f (x)=-+

五、參數法

引入某個參數，然后寫出用這個參數表示變量的式子（即參數方程），再消去參數便得f (x)的表達式。

例如：已知f(sinx+1)=3cosx. 求f(x)的表達式

解：令x=sinθ+1y=3cosθ則有sinθ=x-1cosθ=

因為sinθ+cosθ=1所以 (x-1)+=1

即y=-3x+6x. 所以f (x)=-3x+6x（0≤x≤2）

【參考文獻】

[1]帕提古麗.阿布都拉.求函數解析式的常用方法.[j].和田師范專科學校學報.2010年第五期

[2]高中數學《思維導圖》

（作者單位：江西省贛縣中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文