淺談二次函數的教學梳理與實際運用

【摘要】在中學二次函數是一種不可缺少的數學工具，是初中數學的重點也是教學的難點，是數學中數形思想的一個基礎點。本文就其含義和實際的運用，做了深入淺出、通俗易懂的分析與闡解。

【關鍵詞】函數；知識；運用

一、知識要點

1.定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小，|a|越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數。

2.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax+bx+c（a，b，c為常數，a≠0） [已知過三點的坐標時]

頂點式：y=a(x-h)+k[已知拋物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a(x-x)(x-x) [僅限于與x軸有交點A（x，0）和B（x，0）的拋物線]

3.二次函數的圖像的性質

a.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-。

b.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-，)。

c.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即-<0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即->0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數

Δ＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

7.二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

二、理論聯系實際

1.某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為40只且每日產出的產品全部售出，已知生產x只玩具熊貓的成本為R元，售價每只為P（元），且R，P與x的關系式分別為R=500＋30x，P=170－2x。

（1）每日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元？

（2）每日產量為多少時，可獲得的最大利潤？最大利潤是多少？

解（1）；根據題意得

1750=Px－R＝（17－2x）x－（500＋30x）=1750，

整理得x－70x＋1125=0，

（x－25）（x－45）=0，

∴x=25，x=45（不合題意，舍去），

由題已知，利潤為，

Px－R=－2x＋140x－500

=－2（x－70x＋1125）

=－2（x-35）-975

=－2（x-35）＋1950

∴當x=35時，最大利潤為1950。

答（1）當日產量為25只時，利潤為1950。

（2）當日產量為35只時，最大利潤為1950。

2.改革開放以來，某鎮通過多種途徑發展地方經濟，1995年該鎮年國民生產總值為2億元，根據測算，該鎮國民生產總產值為5億元時，可達到小康水平。

（1）若從1996年開始，該鎮國民生產總值每年比上一年增加0.6億元，該鎮通過幾年可達到小康水平?

（2）設以2001年為第一年，該鎮第x年的國民生產總值為y億元，y與x之間的關系是y=x+x+5（x≥0）該鎮哪一年的國民生產總值可在1995年的基礎上翻兩番（即達到1995年的年國民生產總值的4倍）？

解：（1）設該鎮通過x年達到小康水平，根據題意得2＋0.6x=5

解得x=5

（2）設第x年的年國民生產總值為2×4=8億元，

∴x+x+5=8 解得x=3 x=－9（不合題意舍去）

答：（1）設該鎮通過5年達到小康水平。

：（2）2003年的國民生產總值可在1995年的基礎上翻兩番。

（作者單位：山東省濱州市高新區小營中學）H