淺談數(shù)學中的逆向思維

摘要：本文對數(shù)學中的逆向思維方法及運用進行了簡單論述。

關鍵詞：逆向思維

1 什么是逆向思維

人的思維過程是可逆的。如果我們把A?圯B的思維過程屬于正向思維（正向思考）的話，那么B?圯A的思維過程則屬于逆向思維（逆向思考）。人們習慣于正向思維，但在有些時候，逆向思維卻更有利于問題的解決。從正向思維轉向逆向思維是思維靈活性的一種表現(xiàn)。

那么，什么時候考慮逆向思維呢？一般來說，當順推不行時考慮逆推，直接解決不行時考慮間接解決，探討可能性發(fā)生困難時考慮探討不可能性，……所有這些都屬于逆向思維的范疇。當我們反復考慮某個問題陷入困境時，逆向思維往往能使我們茅塞頓開，幫助我們找到解決問題的思路或辦法。

2 分析法、反證法都是逆向思維的方法

數(shù)學證明中的分析法、反證法都是逆向思維的方法。

在數(shù)學證明中，按照邏輯推理本身的順序和要求來說，應該是從題設條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理條件逐步推出所要證明問題的結論，這是我們證明中常用的綜合法。然而在某些時候，用綜合法很難解決問題，比如很多無理不等式的證明就是如此。若反其道而行之，從要證明的結論出發(fā)進行倒推，逐步推到已知條件或明顯成立的事實，從而得到結論的證明，這就是我們證明中常用的分析法。顯然分析法是一種逆向思維的方法，這種方法在不等式的證明中占有重要的位置。另外，我們常用分析法探索解題途徑，用綜合法形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，也是訓練逆向思維的一種途徑。

反證法也是一種逆向思維的方法。當我們直接證明一個問題發(fā)生困難時，常常考慮用反證法。反證法是先證明原命題的否定為假，進而肯定原命題為真。也就是說，反證法是考慮了兩個方面，即原命題的反面與真實（成立）的反面，經過兩次否定才完成整個證明的。雖然反證法的邏輯依據(jù)是排中律，但其思想方法卻可以說是雙重的逆向思維。

3 逆向思維方法運用舉例

關于逆向思維方法的運用，舉下面幾個例子：

例1求證：+<4

證明：（用分析法）

因為+和4都是正數(shù)，所以為證明+<4

只需證明（+）2<42

展開得8+2<16

即2<8，<4，15<16.

因為15<16成立，所以（+）2<42成立，

即證明了+<4。

注：此題若用綜合法就比較困難，因為我們很難想到從“15<16”入手。事實上，很多含有根式的不等式的證明，用分析法比用綜合法簡便。

例2用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。

解：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為A，其中以0開頭的排列數(shù)為A，所以它們的差就是用這10個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的3位數(shù)的個數(shù)。所以所求3位數(shù)個數(shù)是：

A-A=10×9×8-9×8=648

答：可以組成648個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。

注：此解法是一種逆向思維的方法。它不是直接求沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，而是先求不是三位數(shù)的3個不重復數(shù)字的排列數(shù)A，然后從所有不重復的三個數(shù)字的排列數(shù)A中將它減去，得到 所求三位數(shù)的個數(shù)。

例3直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線就和這個平面平行。

已知：，且a∥b(如圖)，求證：a∥α。

此定理若直接證明的話，需證明直線a和平面α沒有公共點（線面平行定義），這是非常困難的。若用反證法證，據(jù)已知條件，只需證=P不可能，這一點很容易做到。

證明：（反證法）

假設直線a和平面α不平行，

ａ∥b，過a、b作平面β，則

，此與a∥b相矛盾。

∴a∥α。

例4有四位同學，每人買1張體育彩票，求至少有兩位同學彩票號碼的末位數(shù)相同的概率。

四位同學中至少有兩位同學的彩票號碼的末位數(shù)相同，這包括其中恰有某兩位同學彩票號碼的末位數(shù)相同、恰有某三位同學彩票號碼的末位數(shù)相同、四位同學彩票號碼的末位數(shù)都相同等多種互斥情況，逐一求其概率相當麻煩。若用逆向思維方法，即先求四位同學所買彩票末位數(shù)號碼各不相同的事件的概率。再求其對立事件——至少有二位同學彩票號碼的末位數(shù)相同的概率就比較簡單。

解：記“四位同學所買彩票號碼的末位數(shù)字各不相同”的為事件A，每人所買彩票號碼的末位數(shù)均有0，1，2，…，9共10種可能，故基本事件總數(shù)為104個。若末位數(shù)字全部相同，則第1位同學的末位數(shù)字有10種情況，第2、3、4位同學分別只有9、8、7種，

所以

由于“至少有兩位同學彩票號碼的末位數(shù)相同”是事件A的對立事件。

根據(jù)對立事件概率公式，得到：

答：至少有兩位同學彩票號碼的末位數(shù)相同的概率是。

注：若事件B發(fā)生所包含的情況較多，而它的對立事件A（B不發(fā)生）所包含的情況較少，

利用P（B）=1-P（A）計算B的概率則比較簡便。這不僅體現(xiàn)了逆向思維，同時對培養(yǎng)思維的靈活性是很有益的。

例5求Sn=1#8226;3#8226;5+3#8226;5#8226;7+5#8226;7#8226;9+…+（2n-1）（2n+1）（2n+3）.

按照習慣的思維是將和式Sn中的通項展開，把Sn分解成自然數(shù)與一個常數(shù)列之和。如果對自然數(shù)的立方數(shù)列與平方數(shù)列的求和不熟，一切將從頭做起，十分麻煩。

現(xiàn)在考慮一個比Sn的數(shù)列更為復雜，但結構與其相似的數(shù)列（這是一個表面上與“簡單化”方向完成相反的大膽做法）

S=1#8226;3#8226;5#8226;7+3#8226;5#8226;7#8226;9+5#8226;7#8226;9#8226;11+…+（2n-1）（2n+1）（2n+3）（2n+5）

記ak=（2k-1）（2k+1）（2k+3）（2k+5）…(*)，（k=1，2，…，n）

由ak+1-ak=8（2k+1）（2k+3）（2k+5）…(*)可知，S中每相鄰兩項之差的八分之一正好就是Sn中的各項，于是令（*）中的k=1，2，…，n，得

將以上n個式子相加得

通過考慮一個比Sn中的數(shù)列更為復雜的數(shù)列與Sn間的關系，反而簡捷地求出Sn的值。

總之，逆向思維方法的應用十分廣泛，用法靈活，在數(shù)學中占有非常重要的位置。因此，教師在教學過程中不僅要重視正向思維的培養(yǎng)，還應重視逆向思維的訓練。培養(yǎng)學生的逆向思維（逆向思考）貴在平時，貴在堅持。只有這樣，才能更好地提高學生的數(shù)學素質，提高學生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]《中學數(shù)學教學參考》.2007.5下期.高中.

[2]中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材.《數(shù)學》.（基礎版）第二冊.邱維聲主編.

[3]全日制普通高級中學教課書《數(shù)學》.（必修）第二冊（下B）.人民教育出版社.

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