最小二乘法擬合曲線在施工中的應用

摘要：施工中常遇到一些相關數據的分析處理，并要求擬合曲線以便反映數組規律和擴大應用范圍，本文介紹了目前應用較廣、較為精確的曲線擬合方法，以及回歸方程的建立。

關鍵詞：最小二乘法 擬合曲線 施工 應用

1 概述

工程施工中，我們會經常取得一些相關的數據，這些數據往往來自與施工密切相關的測量或試驗中，比如石灰劑量的滴定試驗中，EDTA用量與灰土劑量存在某種關系；又如預應力千斤頂與油表的配套校驗中，油表讀數與千斤頂實際張拉力又有一種關系，這些原始數據一般是5組以上。

我們可以通過作圖或多段插值取得變量之間的聯系，但作圖和插值查圖往往誤差較大，這時可采用最小二乘法先擬合出一個多項式(也稱經驗公式），再根據此多項式求解任一自變量所對應的因變量較精確的結果，據此繪圖可得到較精確、較合理的曲線。

2 最小二乘法原理

現實中通過測量或試驗取得的各組數據（xi，yi）其本身不可避免的地帶有測試誤差，如果構造一個較為簡單的插值法P（x）來逼近真實函數f（x)，當個別數對誤差影響較大時就會引起插值函數發生嚴重波動，從而影響逼近精度，因為插值法要求插值函數在節點(已知數對)處滿足標準條件，即P（xj）＝f（xj），（j＝0，1，…，n)。這時候，為盡可能減小測試誤差對逼近精度的影響，我們可以用另一種方法構造一個經驗公式，使得該公式在每一個節點上所求得的結果與原測試結果的差的平方和最小，即曲線擬合的誤差最小，精度最高，這就是最小二乘法原理，用定義表述為：

設有n對數據（xi、yi)，（j＝0，1，…，n），通過這些數據找一個m次近似多項式P（x）＝a0+a１x+…+amxm （m＜n），適當選取a０，a１，…am，

則稱P（x）為最小二乘擬合多項式，或稱x、y之間的經驗公式。

3 最小二乘原理應用的具體做法

根據定義，我們最終目的是根據已知數據組求出合適的系數ai，使多項式?漬（ai）取得最小值，運用多元函數求極值的方法可導出如下方程組：

這是以ai為未知數的m+1階線性方程組，寫成矩陣形式有

因此，我們只要求出S0，S1，S2，…，Sm，…，S2m以及T0、T1、…、Tm，建立正規方程組即可求出系數ai，代入多項式P(x)即得擬合曲線方程。

4 應用實例

4.1 灰劑量EDTA滴定法標準曲線繪制 備5種試樣共10個樣品的灰土混合料，其石灰劑量為已知，在6%~18%范圍內按3%劑量遞增，該范圍已涵蓋2：8灰土到3：7灰土(V：V)的石灰劑量范圍。分別對樣品進行滴定，測得EDTA標準液耗量(ml)如下：

步驟1：作草圖，先將數據點畫在坐標紙上，連線分析其變化的粗糙趨向，確定多項式的大致形式，可以看出，本例為一緩和拋物線。

步驟2：設擬合曲線方程為y=a+bx+cx2，列表求和計算Sk、Tk（見下表）

步驟3：建立正規方程組

5a+179.5b+7563.25c=60179.5a+7563.25b+353603c=2471.17563.25a+353603b+17637875c=113851.6

解得c＝－0.0013b＝0.382a＝0.253

因此得方程y＝0.253＋0.382x－0.0013x2

該經驗公式求得的結果與測試數據的最大離差Δ＝－0.2，離差的平方和最小為0.06，據此可繪制石灰劑量(%)與EDTA耗量(ml)關系的標準曲線，應用中當已知某灰土樣品液滴定的EDTA耗量x時，直接代入公式或查標準曲線便可得到較為精確的待測灰土的石灰劑量，方便、快速而又準確。

4.2 求解張拉千斤頂與油表讀數的回歸方程 預應力千斤頂與油表的配套校驗中，分級張拉數據可達到5~20組，而張拉力與油表讀數實際為線性關系，一般只需兩組數據便可確定其關系式，但數據越多，回歸方程越真實，越精確。此時采用最小二乘法可使每一組數據參與回歸。

對線性方程y＝ax＋b

用最小二乘法公式求系數a、b(斜率和截距)，公式簡化為：

則有a＝0.035 b＝0.68，

故得經驗公式y＝0.035x＋0.68

回歸相關系數r＝0.99993，精度較高。應用時將所需張拉力的值代入公式便可得到相應張拉力下的油表讀數，以控制張拉力。

5 結語

最小二乘法作為函數逼近的一種重要方法，在工程技術中的曲線擬合、求取經驗公式等方面有著廣泛的應用，但一般來說擬合式不高于三次多項式，否則在計算上將十分繁瑣，且擬合精度將受到影響甚至出現病態。而實際工程應用中擬合的曲線多為一次線性或二次拋物線型，因此，最小二乘法擬合曲線在工程應用中仍占有著重要的位置。

參考文獻：

[1]袁慰平，張令敏，黃新芹，聞震初.《計算方法》.東南大學出版社.1996.

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