數值計算方法的融會式教學理念與實踐

[摘要]針對數值計算在理工科課程體系中的橋梁性作用，提出了能夠貫通前緣后續課程、奠定專業基礎、突出專業特色、激發學習興趣的融會式教學理念，并結合自動化專業本科生《數值計算方法》課程教學任務開展融會式理念的教學實踐。實踐表明融會式教學理念具有全方位、全過程、理論聯系實踐、因材施教等優點，能充分激發學生的學習興趣，提高學生學以致用和自主創新的綜合能力。

[關鍵詞]數值計算方法；融會式；教學理念；教學實踐

[中圖分類號]G642.0 [文獻標識碼]A [文章編號]1005－4634(2012)02－0053－04

0 引言

隨著計算機技術的飛速發展，數學學科的地位發生了巨大的變化，特別是在自然科學的許多分支中，有相當多的研究問題走向定量化和數值化，從而出現了一系列與計算有關系的研究方向，如計算物理、計算力學、計算化學、計算地質學、計算生物學、計算氣象學等。目前，科學計算、理論研究、科學實驗已經成為當今科學研究的三大方法，而科學計算由于具有研究成本低、周期短、風險少等特點，因而受到廣泛的重視。數值計算方法，也稱“數值分析”或“計算方法”，是科學計算的重要基礎，也是理工科大學生和研究生的核心課程，國內外綜合性大學無一例外均開設了本門課程。數值計算方法以采用計算機技術求解工程實踐中提煉出的數學問題為主線，既有數學課程理論上的抽象性和嚴謹性，又有解決實際問題的實用性和實踐性。自從教育部分別頒布高等教育“面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”后，很多教學工作者積極探索數值計算方法教學的新模式，并投入到教學實踐之中。在教學觀念、教學內容、教學方法、教學手段等方面出現了百家爭鳴的好局面，開展了多層面多方位的教學改革探索，展現了數值計算方法課程教學在理工科人才培養中的奠基性作用。

鑒于數值計算方法在理工科人才培養課程體系中的重要地位，通過問卷調查及統計分析，分別從教師和學生兩個角度剖析課程教學所面臨的主要問題，有針對性地提出數值計算的融會式教學理念，從課程體系、教學模式、教學內容、教師隊伍等多個方面闡述該理念的內涵，并結合國防科技大學自動化專業本科生《數值計算方法》課程教學任務開展教學實踐，檢驗融會式教學理念的實際效果，為21世紀數值計算方法教學改革提供新的思路和有益借鑒。

1 課程教學的問題分析

數值計算方法在理工科大學生及研究生培養的課程體系中具有顯著的橋梁性作用，一方面是對高等數學、線性代數、編程語言(或算法設計)等公共前緣課程的鞏固與擴展，另一方面也是力學、計算機科學、自動化、航空航天、土木工程、機械工程、經濟管理等專業后續課程的基礎和工具。通過問卷調查統計分析，目前數值計算方法課程教學所面臨的主要困難可從教師和學生兩個方面加以總結。根據數值計算方法授課教師的反映，教學面臨的困難主要有以下幾個方面。

1)課程信息量大與教學時數少之間的矛盾。課程主要研究數值逼近與曲線擬合、線性方程組求解、非線性方程求根、數值積分與數值微分、常微分方程求解等問題的數值解法，教學內容多，而培養方案又在壓縮教學課時，所以出現學時少、內容多的矛盾。

2)課程覆蓋面廣與教師專業知識受限之間的矛盾。課程涉及的數值方法都有著典型的工程應用背景，涉及的學科領域寬泛，從事教學的教師往往精通于有限的領域，如何充實提高自身素養適應課程教學的要求是任課教師必須面對的問題。

3)實踐環節與相應保障之間的矛盾。數值計算方法課程是理論與實踐結合的產物，實踐性是此課程有別于其它數學課程的一個基本特征。課程教學的實踐環節花費時間較多，可能與教學大綱要求的在一定時間需完成的教學任務有沖突。教師在研究情境設置的問題“難易度”的把握尺度上與學生的接受能力也有可能沖突。有些太困難的研究問題難免超出教學大綱的要求，給學生造成額外負擔。

根據學生反映的情況，課程學習面臨困難主要有：(1)學習興趣淹沒在冗長的公式推導和理論分析之中。課程涉及相當多的理論推導，對于己經復雜冗長的公式，還要進行理論分析，包括算法的收斂性、數值穩定性、誤差分析以及好的時間復雜性和好的空間復雜性。這些方法幾乎都很復雜，公式冗長，推導繁瑣。過多地強調數學理論證明，大多數的學生覺得這門課很難，學得很枯燥，也感覺不到樂趣。(2)課程內容及進度與學生個體差異的矛盾。伴隨著高校招生規模的擴大，學生的人數越來越多，生源的個體差異也越來越顯著，同樣的內容設置和進度安排往往使得人數眾多、差異顯著的學生群體難以適應，學習效果自然受到嚴重影響。(3)課程內容難以體現貫通培養課程體系的橋梁性作用。無論是教材還是實際授課，緒論往往將數值計算方法定位為理工科大學生和研究生培養的核心基礎課程，但是主體內容講授時由于課時有限，只能突出理論推導和算法設計，學生只能見到樹木，卻始終未能見到好奇的森林，嚴重的話會削弱學生的學習興趣和熱情。(4)實踐環節與基礎能力的矛盾。數值計算中的問題僅靠課堂教學、理論推導是很難講明白的，特別是各種算法的收斂性、穩定性等問題。實踐環節是學生加深算法理解、學以致用的重要途徑。但是，課程實踐環節不可避免地涉及到程序編寫與調試，很多學生在編程語言或算法設計課程中基本功不夠扎實，從而對數值計算方法的實踐環節產生畏懼心理，導致課程實踐效果不佳。

2 融會式教學理念

針對數值計算方法課程教學的上述問題，教學工作者們主動思考、積極探索，不斷實踐新的教學理念或教學模式。在現有研究基礎之上，本文提出數值計算方法的融會式教學理念，重點探討如何培養學生的數值思維能力和計算求解能力，使他們通過課程的學習，構建起所學專業課程體系的全貌，領悟課程的基礎性、開放性的重要特征，融會貫通數值計算的思想理解、算法設計和工程實踐，在碰到新問題時，不是生搬硬套書本公式，而是靈活運用掌握的數值思維方法去分析和求解。

融會式教學理念關鍵落實在“融會”二字上，它突破傳統的課程講授、課后作業、上機實踐、考核結課的授課過程，將其擴充為前緣深入先摸底、備課充實貼前沿、授課生動重啟發、習題思考多互動、實踐靈活循算法，授課講座齊并舉、考核全面現能力、試后逐一面點評的融會貫通的全過程。

1)前緣深入先摸底。開課之前深入選課學生群體之中進行交流溝通，了解大家對高等數學、線性代數、編程語言(或算法設計)等公共前緣課程的掌握隋況，獲取并分析選課學生在前緣課程的成績分布情況，特別留意個體的差異程度。比如，對于具有畏懼心理的學生，要及時發現，因材施教，可通過課堂簡單提問或者通過批改作業留下鼓勵性質的評語，幫助其樹立自信心。

2)備課充實貼前沿。綜合考慮學生對前緣課程的掌握情況和培養計劃對課時的規定，合理選擇備課內容，不求面面俱到、照本宣科，但求重點突出、貼近前沿。每個章節精心設計問題導入環節，舉例須緊扣技術發展的前沿，避免書本上例子通行天下的現象，充分激發學生的學習熱情。比如，插值方法可結合風洞試驗數據估算神舟飛船阻力系數的例子。

3)授課生動重啟發。授課過程中，可充分利用課程的實用性和實踐性，從工程實踐中凝煉科學問題，有針對性地啟發學生主動思考相應的對策，再跟大師們的計算方法進行比較，分析優劣，進而轉入算法的思想、流程和設計，剖析所學計算方法解決工程問題的實際效果及適用范圍。另外，還要注重多媒體和板書的有效結合。

4)習題思考多互動。合理安排習題課，精心準備由易而難的例題，既注意問題的工程實踐性，也引導學生積極思考，結合前緣課程的了解情況，有針對性地讓學生參與分析和計算，采用分組討論的形式，充分尊重個體差異，盡量讓每位學生都有所獲益，有所提高。融會式教學在考試之前的復習課中，一方面梳理本門課程內容之間的相互聯系，比如插值是數值微積分的基礎，樣條插值是線形方程組求解之追趕法的典型應用等等。另一方面更要回顧課程與前緣課程的具體關系，比如多項式插值充分利用了線形代數中多項式空間基函數的概念，數值逼近多次引用范數的定義，而且要根據選課學生的專業分布，選取有典型意義的后續課程，比如自動化專業的控制系統原理、信息科學專業的信號與系統等等，講解課程所學方法將在專業后續課程中發揮重要的作用，同時也是大家學習這些后續課程的重要基礎。

5)實踐靈活循算法。課程教學的實踐環節非常重要，由于學時有限，必須充分利用。建議可分3次上機實踐。第一次可以考查編程能力，及時發現情況，及時總結原因，可組織一次集體答疑，為大家編制統一的接口函數，將數據結構定義、數據讀入、結果顯示等公共環節提取出來統一處理，而引導學生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的實現。第二次，直接提供基本程序框架，由學生填充算法流程的主體部分。第三次，則可當作現場模擬上機考試，要求學生在規定時間內提交算法程序和結果。實踐環節的合理運用對改善課程教學效果具有極其重要的作用，教師可適當補充編程的基本技能和基本方法，編制易于理解易于運用的程序框架，以便于學生將有限精力投入到算法設計本身，而不是過多地消耗在輸入輸出等公共環節。特別是，需要關注對編程具有畏懼心理的學生，采取合適而又有效的措施，比如分組合作或者親手示范等手段，消除畏懼，激發興趣，以全面提高課程教學質量。

6)授課講座齊并舉。考慮課程覆蓋面廣與教師專業知識受限之間的矛盾，并不能要求教師同時掌握多門專業知識，而是可以采用授課和講座相輔相成的方式，邀請其他專業的老師，根據他們從事科學研究過程中運用數值計算方法解決領域問題的具體體會，向學生講解數值計算方法的實際應用流程和作用。比如，生物信息學中大量應用最小二成、稀疏矩陣求逆等數值方法。講座往往較為輕松，占用課時少，學生易于接受，既可提高學習興趣，也可拓寬知識面，對課程的基礎性作用不言而喻，從而有效避免了授課教師“王婆賣瓜，自賣自夸”的尷尬。

7)考核全面現能力。課程考核要全面覆蓋授課內容，合理制定試題難度，注重綜合能力的考查。課程考核重在數值計算方法基本思想的領悟和掌握程度，不苛求公式的背誦記憶，建議設置一定比例的推導題，比如給出數值積分的梯形公式，要求學生推導Simpson公式。

8)試后逐一面點評。不同于以往考試結課的慣例，融會式教學強調全過程的交流溝通，學生一般在考試之前集中復習，考試之后遺忘性衰減現象很普遍。為了鞏固教學效果，融會式教學注重考試之后，教師及時批改試卷，總結課程教學效果，與每一位學生進行當面點評，分析丟分的具體原因，加深學生對所學方法的理解和應用。

綜合起來，數值計算方法的融會式教學理念重在將授課過程、教學內容、教學方法、教學手段、教師構成、課程考核、試后講評等多個環節融會貫通。在教學內容上，突出本門課程與前緣、后續課程的內在聯系、相互關系及本質特色，讓學生既見樹木，也見森林；在教學方法上，強調理論與實踐并重，緊扣專業特色，無論是課堂舉例，還是上機實踐，都結合授課對象的專業分布，從實際工程應用提煉科學問題，將算法思想付諸問題求解，激發學生的學習積極性，加深數值方法的理解；在教學手段上，注重現代多媒體技術與板書的合理搭配，多媒體形象生動，結合插值、擬合、方程組迭代求解等數值方法的幾何意義、物理意義進行講解，節省時間提高課堂效率。板書節奏感強，容易引導學生積極思考，也便于開展師生互動，加深學生對算法思想的理解，提高學以致用的實踐能力；在授課過程上，更是體現“融會”的特征，從前緣課程摸底、個體差異關注，到跨專業邀請講座，再到試后當面點評，直至后續課程的展望，都充分注重融會貫通的教學環節，最大程度上提高教學效果。

3 融會式教學實踐

與數值計算方法課程的實踐性相統一，融會式教學理念同樣需要教學實踐的不斷檢驗。筆者結合國防科技大學自動化專業本科生《數值計算方法》課程教學任務，遵循融會式教學理念，積極開展包括前緣深入先摸底、備課充實貼前沿、授課生動重啟發、習題思考多互動、實踐靈活循算法，授課講座齊并舉、考核全面現能力、試后逐一面點評等所有環節的教學實踐，檢驗融會式教學理念的效果。

筆者獨立主講了國防科技大學自動化專業本科生在大三秋季學期設置的32學時《數值計算方法》課程。結合課程的特點，全程采用融會式教學理念，采用“掌握思想、設計算法、上機實踐”等多種手段進行全方位教學。根據授課對象前緣課程的掌握情況，選取插值、擬合、數值微積分、線性方程組求解直接法、線性方程組求解迭代法、非線性方程求根、常微分方程數值解等作為主講內容，課堂26個學時重點開展算法思想的講授和研討，實踐6個學時則重點考查學員設計算法、解決問題的綜合能力。

在學期開課之前深入授課對象所在的學員隊，與學員交流本科階段學習的體會與經驗，了解大家對本課程前緣課程(高等數學、線性代數、C語言等)的掌握程度，對微積分、方程組求解、矩陣特征值等相關內容進行復習鞏固，同時留意個體差異，及時發現自稱“逢數學課必掛”的具有畏懼心理的學生。

備課時，緊密結合科技發展前沿，比如從神舟飛天中根據風洞數據估算阻力系數的實例引入插值方法，同樣由加速度計離散測量數據估算飛行速度的問題引出數值積分的問題；在課堂教學中，強調學員主動發現問題、積極參與課堂討論，在適當的引導中鼓勵學員自己得出結論，既提高學習興趣，也增強自信心。鑒于課程學時受限，全程作業逐本批改，在指定課時之外，采用集體答疑和第二課堂的自由形式，補充8個課時進行課外習題輔導，學生可以根據自身的學習情況自行決定是否參加，加深大家對數值算法的理解和求解過程的聯系。考慮到教師自身專業知識有限，邀請生物信息學、基礎物理學的兩位跨專業教員分別開展公開講座，結合具體問題示范如何運用數值計算方法進行解決，加深印象，也激發熱情。

三次上機實踐按照知識點進行組織，一類算法的授課結束后立即進行編程實踐。第一次實踐內容為插值和擬合，程序編制相對較為簡單，同時也考查學生編程能力的個體差異，及時分析情況，集中組織一次課外答疑，不是簡單地準備好例程演示給大家而已，而是與學員一起現場編制程序，依據融會式教學理念，讓大家看到如何結合具體求解問題從無到有地編制程序的全過程，加深大家對算法從流程到代碼的演化過程，減輕大家對編程實踐的畏懼心理，提高動手實踐能力。第二次為數值積分的Romberg算法，為大家編制統一的接口函數，將數據結構定義、數據讀入、結果顯示等公共環節提取出來統一處理，引導學生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的實現。第三次為微分方程數值解Runge-Kutta算法，采用限時提交的方式，要求大家按照考核的標準完成二階、三階、四階算法的編程和精度比較。課程實踐環節逐次提高要求，讓學生在掌握數值計算方法相關算法的同時，也進一步提高編程能力，增強自信心，為后續課程學習奠定基礎。

課程考核既測驗學員對基本概念、基本原理的掌握程度，也測驗學員對課程整體的把握能力以及學以致用的實踐能力。考試之后，及時閱卷，并再次深入學員群體之中，進行逐一當面點評，分為未能掌握、粗心大意、時間不夠等類型剖析丟分的原因，既是及時鞏固課程學習成果，也是鍛煉學生素質、提高學習成績的重要途徑。

與傳統模式相比，融會式教學理念注重從實際工程應用提煉科學問題，充分激發學生的學習興趣；強調課程的承上啟下的地位，讓學生既見樹木，也見森林，知曉專業培養的目標與定位；注重數值計算方法的啟發和實踐并重，通過具體問題的編程實驗，既加深理解，也敢于實踐。在授課、答疑、批改作業、實驗、考試等諸多環節，學生們都充分認可融會式教學理念。綜合這次融會式教學實踐的實際成效來看，學員們較好地掌握了插值、擬合、數值微積分、線性方程組求解、常微分方程數值解等數值計算方法的思想精髓，并能夠活學活用，解決實際問題。特別是，三次上機實踐，學員熱情逐次提高，主動尋找課外時間開展編程實踐，多次改進程序，修訂實驗報告，達到了非常好的算法實踐效果。

在本次融會式教學實踐中，學生都能夠帶著興趣與熱情投入到課程的學習中去，課堂積極思考、踴躍發言，敢于發表自己的見解；課后主動復習、認真完成作業，特別是布置的幾次討論性質的題目(如談談對課程的印象、談談對迭代法的理解等)鍛煉了學員的獨立思考能力和語言表達能力；上機實踐中能夠針對底子薄、能力差、鍛煉少的現狀，積極主動地進行反復練習，并相互請教，力爭得到最大程度的提升。其中，極個別學員存在基礎薄弱、前緣課程差、出現多門掛科等問題，自信心不強，甚至出現自暴自棄的現象，經過多次引導與鼓勵，也能夠積極融入集體，認真對待每次作業和實驗，得到了較好的平時成績，考試也能夠積極面對，最終也取得了令自己滿意的成績。

總體而言，《數值計算方法》課程采用融會式教學理念，取得了良好的教學效果，既提高了學生對數值計算方法思想精髓的理解水平和應用能力，也培養了學生的主動學習、獨立思考等綜合素質，為后續的學習深造打下基礎。

4 結束語

隨著計算機軟硬件技術的不斷發展，科學計算與理論研究、科學實驗一起構成了當今科學研究的三大方法。數值計算方法是科學計算的重要基礎，也是理工科大學生和研究生必須掌握的核心課程。本文分析了目前數值計算方法課程教學所面臨的主要問題，有針對性地提出了融會式教學理念，從前緣深入先摸底、備課充實貼前沿、授課生動重啟發、習題思考多互動、實踐靈活循算法，授課講座齊并舉、考核全面現能力、試后逐一面點評8個環節剖析了這一教學理念的內涵，結合具體的教學任務積極開展教學實踐。與傳統模式相比，融會式教學理念注重從實際工程應用提煉科學問題，更加貼合數值計算方法的課程性質，充分激發學生的學習興趣，提高了學生對數值計算方法思想精髓的理解水平和應用能力，也培養了學生的主動學習、獨立思考等綜合素質。

融會式教學無疑給教師提出了新的挑戰，他們需要投入更多的精力，不再是孤立地在一門課程上下苦功，更要融會貫通地開展全程化教學。如何追蹤科技前沿，如何考慮個體差異，如何激發學習興趣，如何找到理論與實踐之間的折衷等等，都是融會式教學必須認真思考并合理解決的問題。當然，融會式教學理念是數值計算方法課程教學改革的一種新嘗試、新探索，還有待在今后的教學實踐中不斷補充、完善和檢驗。