基于三角模糊數的凸合成模糊對策解的結構

摘 要 將凸合成模糊對策的特征函數用三角模糊數的形式表示出來，并以三角模糊數表示局中人的參與度，從而建立了一個新的凸合成模糊合作對策的模型.在此模型的基礎上，給出了凸合成模糊對策的三角核心和三角穩定集，并證明了上述解可由子對策的核心和穩定集表達出來.

關鍵詞 三角模糊數；模糊對策；三角核心；三角穩定集

中圖分類號 O225 文獻標識碼 A

The Structure of Solutions of Convex Compound Fuzzy Game Based on Triangular Fuzzy Number

PEI Hucheng， GAO Zuofeng

(College of Science， YanShan University， Qinhuangdao，Hebei 066004， China)

Abstract A new model of convex compound fuzzy game that the characteristic function and player involvement are based on triangular fuzzy number is given.On the basis of this model， the triangular core and triangular stable set of convex compound fuzzy game was given，which was proved to be expressed by their corresponding subgame.

Key words triangular fuzzy number；fuzzy game；triangular core； triangular stable set

1 引 言

自引入合作對策［1］以來，局中人之間如何合理分配總收入的問題得到了廣泛的研究.特別是J.von Neumann和O.Morgenstern于1944年提出合成對策［2］以來，Aubin.J.P將模糊和對策結合起來，提出了模糊合作對策的概念［3］.1994年，趙景柱［4］提出了一種新的合成模糊對策——和-合成模糊對策，并研究了這種對策的穩定集.劉廣智等［5，6］提出了一般化合成模糊對策，并探討了這類合成模糊對策解的結構.高作峰等［7］提出了凸合成模糊對策模糊，并研究了凸合成模糊對策的穩定集.文獻［8］研究了模糊核心的限制非空性，個體合理性和遞歸對策性等性質，刻畫并證明了核心的存在唯一性.張強等［9］提出了區間合成模糊對策，給出了區間合成模糊對策解的概念.

2 基本定義

=aL，a，aR，其中aL≤a≤aR，aL和aR分別是所支撐的上界和下界，而a為中值，則稱為一個三角模糊數，其特征函數可表示為［10］

μa(x)=x-aLa-aL，aL≤x≤a;x-aRa-aR，a≤x≤aR;0，其他

本文所討論的三角模糊數均為非負三角模糊數，即=aL，a，aR，aL≥0.

定義1 記=aL，a，aR，=bL，b，bR為兩個非負三角模糊數，則相關運算為：

(ⅰ) －=－aL，－a，－aR，

(ⅱ) +=aL+bL，a+b，aR+bR，

(ⅲ) －=aL－bR，a－b，aR－bL，

(ⅳ) =aLbL，ab，aRbR，

(ⅴ) /=aL/bR，a/b，aR/bL，＞0，

(ⅵ) k+=k+aL，k+a，k+aR，k為任意實數，

(ⅶ) －k=aL－k，a－k，aR－k，k為任意實數，

(ⅶ) k=kaL，ka，kaR，k≥0，

(ⅷ) /k=aL/k，a/k，aR/k，k＞0.

定義2 記全體局中人集合N=1，2，…，n，P(N)為N的全體冪集組成的集合，任意k∈P(N)為三角模糊聯盟，用模糊集合的特征函數表示為：

k:P(N)→(i)=(kL(i)，k(i)，kR(i))，

支付函數(k)=(L(k)，(k)，R(k))表示三角模糊聯盟的收益，其中(k)是定義在P(N)到n上的映射，即:P(N)→n且()=0，稱(N，)是以給出的以N為局中人集合的n人三角模糊合作對策，簡稱為三角模糊對策，稱n中的任一元素為一個三角模糊聯盟，的第i個分量i稱為局中人i參加模糊聯盟的參加度.

定義3 記為三角模糊對策，：P(N)→［0，1］n，令/i=(0，0，…，i，0，…，0)則稱集合

()={|∈n，∑i∈Ni=(N)，

ii≥(/i)，i∈N，∈［0，1］n}

為對策的三角模糊分配集.

定義4 設，∈()，若存在一個三角模糊聯盟∈［0，1］n，≠0，使得i＞i(i∈k())且∑i∈k()ii≤()，則稱通過模糊優超，其中k()={i|i≠0，i∈N}，對于∈()和()，令

Dom={|∈()，＞}，

Dom=∪∈Dom.

定義5 設N1，N2，…，Nm是m個非空集合，且滿足Ni∩Nj=(i≠j)，n1=N1 (i=1，2，…，m)，(0，1n1，1)，(0，1n2，2)，…，(0，1nm，m)是m個三角模糊對策，令N=∪mi=1Ni，n=N，則稱(0，1n，)是1，2，…，m的三角凸合成模糊對策，記為=∑mi=1λii，其中0＜λi＜1，且∑mi=1λi=1，()=∑mi=1λii(/Ni)，=［0，1］n這里，/Ni=(j1，j2，…，jni)，j1，j2，…，jni∈Ni，i=1，2，…，m.

3 三角凸合成模糊對策的三角核心和

三角穩定集

定義6 記N=1，2，…，n為全體局中人集合，(0，1n，)為三角凸合成模糊合作對策，記()為三角凸合成模糊合作對策的三角核心，其中

()={/∈0，1n，∑i∈Ni=(e)，

∑i∈Nii≥()，∈［0，1］n}.

定理1 設(0，1n1，1)，(0，1n2，2)，…，(0，1nm，m)是m個三角模糊對策，是1，2，…，m的三角凸合成模糊對策，(1)，(2)，…，(m)分別是1，2，…，m的三角核心，則∏mi=1(λii)是的一個三角模糊核心，即()=∏mi=1(λii).

證明 因為，是1，2，…，m的三角凸合成模糊對策，所以，Ni∩Nj=(i≠j).令

N1={1，2，…，n1}，

N2={n1+1，n1+2，…，n1+n2}，

…

Nm={∑m－1j=1nj+1，∑m－1j=1nj+2，…，∑m－1j=1nj+nm}.

首先證明

()∏mi=1(λii)，(1)

對任意∈()，有

∑i∈Ni=(e)，(2)

且

∑i∈Nii≥()，∈［0，1］n.(3)

令=1×2×…×m，其中

1=(11，12，…，1n1)，

2=(2n1+1，2n1+2，…，2n1+n2)，

…

m=(m∑m－1j=1nj+1，m∑m－1j=1nj+2，…，m∑m－1j=1nj+nm)，

對于1∈0，1n1，記=1×02×…×0m，其中02∈0，1n2…0m∈0，1nm帶入式(3)式得

∑i∈n1λ11i1i=∑i∈nλiii≥()

=λ11(/N1)+λ22(/N2)+…+λmm(/Nm)

=λ11(1)+λ22(02)+…+λmm(0m)，

即

∑i∈n1λ11i1i≥λ11(1)，1∈0，1n1.(4)

同理可得

∑i∈n2λ22i2i≥λ22(2) ， (5)

∑i∈nmλmmimi≥λmm(m). (6)

取i=ei=(1，1，…，1)∈0，1ni(i=1，2，…，m)，

則由式(4)，式(5)，式(6)得

∑i∈n1λ11i≥λ11(e1)， (7)

∑i∈n2λ22i≥λ22(e2)， (8)

…

∑i∈nmλmmi≥λmm(em).(9)

事實上

∑i∈n1λ11i=λ11(e1)， (10)

∑i∈n2λ22i=λ22(e2)， (11)

…

∑i∈nmλmmi=λmm(em). (12)

因為，若式(10)，式(11)，式(12)中有一個不成立（不妨假設式(10)不成立），那么由式(7)可知：

∑i∈n1λ11i＞λ11(e1)， (13)

于是由式(8)，式(9)，式(13)可得

∑i∈ni=∑i∈n1λ11i+∑i∈n2λ22i+…+∑i∈nmλmmi

＞λ11(e1)+λ22(e2)+…+λmm(em)

=λ11(e/N1)+λ22(e/N2)+…

+λmm(e/Nm)=v(e). (14)

而式(14)與式(2)矛盾，所以式(10)，式(11)，式(12)成立.

由式(4)，式(5)，式(7)，式(8)，式(9)可得：

x/Ni∈(λii)，

即

∈(λ11)×(λ22)×…×(λmm).

從而證明了()∏mi=1(λii).

下面證明∏mi=1(λii)().

對任意的1∈(1)，2∈(2)，…，m∈(m)有

∑i∈n11i=1(e1)， (15)

∑i∈n11i1i≥1(1)，1∈0，1n1， (16)

∑i∈n22i=2(e2)，(17)

∑i∈n22i2i≥2(2)，2∈0，1n2，(18)

…

∑i∈nmmi=m(em) ，(19)

∑i∈nmmimi≥m(m)，m∈0，1nm ，(20)

記=λ11×λ22×…×λmm，則由式(15)，式(17)，式(19)得

∑i∈ni=∑i∈n1λ11i+∑i∈n2λ22i+…+∑i∈nmλmmi

=λ11(e1)+λ22(e2)+…+λmm(em)

=λ11(e/N1)+λ22(e/N2)+…

+λmm(e/Nm).(21)

顯然，對于任意的∈［0，1］n，可表示為=1×2×…×m，其中i=/Ni (i=1，2，…，m)且i∈0，1ni (i=1，2，…，m).

于是由式(16)，式(18)，式(20)可得

∑i∈nii=∑i∈n1λ11i1i+∑i∈n2λ22i2i+…

+∑i∈nmλmmimi

=λ11(1)+λ22(2)+…+λmm(m)

=λ11(1/N1)+λ22(2/N2)+…

+λmm(m/Nm)=v().

即

∑i∈nii≥v() .(22)

由式(20)，式(21)兩式可得：

=λ11×λ22×…×λmm∈()，

即

∏mi=1(λii)().

綜上所述得()=∏mi=1(λii).

定義7 設為三角模糊對策，如果()的非空子集滿足

（ⅰ）∩Dom=(為空集)，

（ⅱ）∪Dom=()，

則稱為的一個三角模糊穩定集，記為().

定理2 設(0，1n1，1)，(0，1n2，2)，…，(0，1nm，m)是m個三角模糊對策，是1，2，…，m的三角凸合成模糊對策，(1)，(2)，…，(m)分別是1，2，…，m的一個模糊穩定集，則的一個三角模糊穩定集是∏mi=1(λii)，即()=∏mi=1(λii).

證明 因為，是1，2，…，m的三角凸合成模糊對策，所以，Ni∩Nj=i≠j.

令

N1=1，2，…，n1，

N2=n1+1，n1+2，…，n1+n2，

…

Nm=∑m－1j=1nj+1，∑m－1j=1nj+2，…，∑m－1j=1nj+nm.

首先證明

∏mi=1λii， (23)

對于∈∏mi=1λii，即=λ11×λ22×…×λmm，其中

1=11，12，…，1n1，

2=2n1+1，2n1+2，…，2n1+n2，

…

m=m∑m－1j=1nj+1，m∑m－1j=1nj+2，…，m∑m－1j=1nj+nm，

有

ijj=ijij≥ii|j，j∈Ni，

i∈0，1ni，i=1，2，…，m， (24)

且

∑j∈niλij=∑j∈niλiij=λiiei，

ei=1，1，…，1∈0，1ni，i=1，2，…，m. (25)

對于∈0，1n，有

|j/Ni=/Ni|j，j∈Ni，i=1，2，…，m.

但是1/Ni∈0，1n1，i=1，2，…，m，所以由式(24)得

ij=/Nij≥i/Ni|j

=i/Nj|i=i/j，

j∈Ni，i=1，2，…，m.(26)

由式(25)得

∑j∈Nj=∑j∈N1λ1j+∑j∈N2λ2j+…+∑j∈Nmλmj

=λ11e1+λ22e2+…+λmmem

=λ11e/N1+λ22e/N2+…

+λmme/Nm=e.(27)

所以，即式(23)成立.

首先證明

∏mi=1λii∩Dom∏mi=1λii= . (28)

用反證法證明.

假設∏mi=1λii∩Dom∏mi=1λii≠，則，∈∏mi=1λii，使得＞，即∈0，1n，≠0，使

i＞i，i∈， (29)

且

∑i∈ii≤， (30)

顯然=∪mi=1/Ni，而，所以式(30)可寫為

∑i∈/N1λ1ii+∑i∈/N2λ2ii+…

+∑i∈/Nmλmii≤

λ11/N1

+λ22/N2+…+λmm/Nm.(31)

記h=i:/Ni≠，i=1，2，…，m，則可由式(31)得：l∈h，使得

∑i∈/N1λ1ii≤λll/Nl. (32)

否則

∑i∈/N1λ1ii+∑i∈/N2λ2ii+…

+∑i∈/Nmλmii＞

λ11/N1

+λ22/N2+λmm/Nm.

這與式(31)矛盾，所以式(32)成立.

因為

，∈∏mi=1λii，

所以

=/N1×/N2×…×/Nm，

=/N1×/N2×…×/Nm，

其中

/Nl，/Nl∈Sl. (33)

由式(29)和式(32)知，/Nl通過/Nl優超/Nl，

即

/Nl＞/Nl ， (34)

式(33)與式(34)矛盾，從而式(28)成立

最后證明∏mi=1λii∪Dom∏mi=1λii=，方法類似于文獻［7］中關于凸合成模糊穩定集的證明，具體過程略.

4 結 論

本文在前人研究的基礎上將凸合成模糊對策的特稱函數和局中人的參與度以三角模糊數的形式表示出來，建立了一個新的凸合成模糊對策的模型，并得到出了這種對策的三角核心和三角穩定集與子對策的三角核心和三角穩定集的關系，對于模糊合作對策的其他研究有一定的參考價值.參考文獻

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