相依風險模型的等價定理及概率結構

摘 要 嚴格定義了Markov相依風險模型.證明了該模型的一個等價定理，使得Markov相依風險模型中的諸過程之間的關系更清晰. 獲得了Markov相依風險模型的概率結構，構造性地證明了該模型的存在定理.

關鍵詞 Markov相依風險模型；等價定理；Markov鏈；概率結構；組裝法

中圖分類號 F224.7 文獻標識碼 A

Equivalence Theorem and Probabilistic Structure for MarkovDependence Risk Model

MO Xiaoyun1，2，OU Hui1，ZHOU Jieming1

（1. College of Mathematics and Computer Sclence，Hunan Normal University， Changsha，Hunan 410081;

2. Hunan University of Finance and Economics， Changsha，Hunan 410205）

Abstract The Markovdependent risk model was defined rigorously. The equivalence theorem of this model was proved，which makes the relationships of the stochastic processes among Markovdependent risk model more clear. Probabilistic structure of the Markovdependent risk model was obtained，and the existence theorem of this model was proved constructively.

Key words Markovdependence risk model; Equivalence theorem ; Markov chain; Probabilistic Structure

1 引 言

許多文獻將經典風險模型作了多種推廣并研究.特別是將Markov鏈引入模型中，如文獻［1-4］中的Markov相依風險模型，［5，6］中的Markov調制風險模型.文獻［1］將經典風險模型推廣，引進了Markov相依風險模型如下：將考慮下面的半Markov相依結構的模型：“設Wi表示第i－1次到第i次索賠的等待時間，W0=X0a.s.則

P(Wn+1≤x，Xn+1≤y，Zn+1=j|Zn=i，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=PW1≤x，X1≤y，Z1=j|Z0=i

=(1－e－λix)PijBj(y).（1）

其中，{Zn，n≥0}是不可約的離散時間Markov鏈，具有狀態空間{1，2，…M}和轉移概率P=(Pij，1≤i，j≤M).這樣，在每一個索賠時刻，如Markov鏈跳躍到狀態j，索賠額的分布Bj將依賴于新的狀態j，而下一個索賠到來的等待時間有參數為λj的指數分布.注意在給定Zn－1和Zn的條件下，隨機變量Wn+1和Xn+1是獨立的，但在相鄰的索賠額之間和在相鄰的索賠等待時間之間存在自相關性，如同Wn和Xn之間存在交互相關那樣.”文獻［1］還指出，Markov相依風險模型包含復合Poisson模型（M=1），Sparre Andersen模型（帶廣義Erlang(n)索賠額分布）［7，8］和Albrecher、Boxma研究的模型［9］等.但文獻［1］中模型的上述描述存在下面的問題.第一，模型的描述不很明確.第二，模型涉及3個相依的隨機過程，3個相依隨機過程是否存在，文獻［1］沒有給出明確回答.第三，式(1)后面的幾個論斷不知是對模型的要求還是式(1)的推論.

本文對Markov相依風險模型給出了上面所述的3個問題的明確回答，獲得了Markov相依風險模型的一個等價定理，給出了Markov相依風險模型的概率結構，構造性地證明了這種模型的存在定理，為研究Markov相依風險模型的隨機過程性質和破產問題打下了嚴實的基礎.2 Markov相依風險模型

設M是給定的正整數，E=(1，2，…，M)，R+=(0，∞).

定義1 設Ρ=(Pij，i，j∈E)是一個隨機矩陣；正數λi＞0(i∈E)，Bi(i∈E)是R+上的概率分布函數，稱

A=Ρ，λi，Bi，i∈E （2）

為Markov特征組.

定義2 給定Markov特征組A=Ρ，λi，Bi，i∈E和定義在同一概率空間(Ω，F，P)上的3個隨機過程：R+值過程W={Wn，n≥1}和X={Xn，n≥1}，E值過程Z={Zn，n≥0}，W0=X0=0 a.s.，如果

P(Wn+1≤x，Xn+1≤y，Zn+1=j|Zn=i，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=(1－e－λix)·PijBj(y)，i，j∈E，x，y∈R+（3）

成立，稱4元組U=(A;W，X，Z)為Markov相依風險模型，并稱A為模型U的特征組.

定義3 設U=(A;W，X，Z)是Markov相依風險模型.對常數x≥0，c＞0，令

N(t)=sup {n≥1:∑ni=1Wi≤t}，t≥0. （4）

R(t)=x+c t-∑N(t)j=1Zj. （5）

稱R={R(t)，t≥0}為由模型U導出的Markov相依風險過程.

3 等價定理

證明Markov相依風險模型的一個等價定理.從該定理看出Markov相依風險模型各要素之間清晰、明確的聯系.

定理1 給定Markov特征組A=(Ρ，λi，Bi，i∈E)和定義在同一概率空間(Ω，F，P)上的3個隨機過程：R+值過程W={Wn，n≥1}和X={Xn，n≥1}，及E值過程Z={Zn，n≥0}，W0=X0=0 a.s..則式（3）成立的充要條件是下面的(ⅰ) ～(ⅴ)同時成立.下面的n≥0，i，j∈E，x，y∈R+.

(ⅰ)P(Zn+1=j|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)=Pij.

(ⅱ) Z是一步轉移矩陣為Ρ的時間齊次Markov鏈：P(Zn+1=j|Zr=ir，0≤r≤n－1，Zn=i)=Pij.

 (ⅲ)當Pij＞0時，

P(Wn+1≤x|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(Wn+1≤x，|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=(1－e－λix).

(ⅳ)當Pij＞0時，

P(Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(Xn+1≤y|Zn+1=j，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=Bj(y).

(ⅴ) 當Pij＞0時，在條件Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n下，Wn+1與Xn+1獨立.即當Pij＞0時，有

P(Wn+1≤x，Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(Wn+1≤x|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

P(Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

證明 必要性.設式（3）成立.

在式（3）中令x→+∞，y→+∞得(ⅰ) .由于σ代數σ(Zr，0≤r≤n－1)σ((Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)，故由條件期望的性質，從(ⅰ)推出(ⅱ)，即Z是時間齊次Markov鏈，一步轉移矩陣為Ρ.

在式（3）中令y→+∞得

(1－e－λix)Pij=P(Wn+1≤x，Zn+1=j|Zn=i，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).（6）

而上式右方又等于

P(Zn+1=j|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)·

P(Wn+1≤x|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

利用(ⅰ)，上式第1因子等于Pij，從而再利用式（6）得出：當Pij＞0時，(ⅲ)中式子的最左方等于最右方，從而中間的等號也成立.得證式(ⅲ).

在式（3）中令x→+∞得

PijBj(y)=P(Xn+1≤y，Zn+1=j|Zn=i，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(Zn+1=j|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)·

P(Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

利用(ⅰ)，上式右方第1因子等于Pij，故當Pij＞0時，從上式得(ⅳ)的最左方等于最右方，從而中間的等號也成立.得證式(ⅳ).

由于式（3）成立，式（3）的右方等于左方，利用(ⅰ)，得

(1－e－λix)PijBj(y)

=Pij·P(Wn+1≤x，Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

故當Pij＞0時，有

P(Wn+1≤x，Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=(1－e－λix)Bj(y).

利用已經證明的結論(ⅲ) (ⅳ)得(ⅴ).

充分性.設 (ⅰ)～(ⅴ)成立，來證式（3）. 為證明式（3）成立，只需考慮Pij＞0的情形.

式（3）的左方等于

P(Zn+1=j|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)·

P(Wn+1≤x，Xn+1≤y|Zn=i，Zn+1=j，

(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

利用(ⅰ)，上式第1因子等于Pij，利用(ⅴ)和 (ⅲ) (ⅳ)，上式第2因子等于(1－e－λix)Bj(y)，從而上式等于式（3）的右方，故式（3）成立.

注 從(ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)分別地可推得

PZn+1=j|Zn=i=Pij.（7）

PWn+1≤x|Zn=i=(1－e－λix). （8）

PXn+1≤y|Zn+1=j=Bj(y). （9） 4 Markov相依風險模型的概率結構

定理2 給定Markov特征組A=Ρ，λi，Bi，i∈E，則存在概率空間(Ω，F，P)及定義在其上的3個過程：R+值過程W={Wn，n≥1}和X={Xn，n≥1}，E值過程Z={Zn，n≥0}，W0=X0=0 a.s.，使得U=(A;W，X，Z)是Markov相依風險模型，其特征組就是給定的A.

證明 用文獻［10］中的獨立乘積空間構造相依隨機變量的組裝法來構造Markov相依風險模型U=(A;W，X，Z).

第1步 在不同的概率空間上分別構造隨機變量族.

依照給定的Markov特征組A中的隨機矩陣Ρ，由時間齊次Markov鏈的存在定理，存在概率空間(Ω1，F1，P1)及定義在其上的時間齊次Markov鏈={Zn~，n≥0}，Zn~=Zn~(ω1)，ω1∈Ω1，其一步轉移矩陣是Ρ.

依照給定的Markov特征組A中的正數λi，i∈E，利用獨立乘積空間的技巧［11］，存在概率空間(Ω2，F2，P2)及定義在其上的獨立隨機變量族{Wn~(i，ω2):i∈E，n≥1}(ω2∈Ω2)，使得Wn~(i，ω2)

(ω2∈Ω2)有以λi為參數的指數分布.

依照給定的Markov特征組A中的概率分布函數Bj，j∈E，利用獨立乘積空間的技巧，存在概率空間(Ω3，F3，P3)及定義在其上的獨立隨機變量族{Xn~(j，ω3):j∈E，n≥1}(ω3∈Ω3)，使得Xn~(j，ω3)

(ω3∈Ω3)的分布是Bj .

第2步 將不同概率空間上的隨機變量族放在同一概率空間上.作乘積概率空間

(Ω，F，P):=(Ω1×Ω2×Ω3，

F1×F2×F3，P1×P2×P3).（10）

對ω=(ω1，ω2，ω3)∈Ω，i，j∈E，令

Zn(ω)=Zn~(ω1)(n≥0);Wn~(i，ω)=Wn~(i，ω2)(n≥1);Xn~(j，ω)=Xn~(j，ω3)(n≥1). （11）

于是有

獨立性質D：定義在(Ω，F，P)上的諸量Z={Zn，n≥0}，Wn~(i)，i∈E，n≥1，Xn~(j)，j∈E，n≥1，是相互獨立的.

第3步 將同一概率空間上的隨機變量族組裝成3個隨機過程.

Z={Zn(ω)，n≥0}(ω∈Ω)已在第2步中定義.對ω∈Ω，令

Wn(ω)=Wn~(Zn－1(ω)，ω)

(n≥1)，W0(ω)=0;

Xn(ω)=Xn~(Zn(ω)，ω)

(n≥1)，X0(ω)=0.（12）

得到(Ω，F，P)上的3個隨機過程：Z={Zn，n≥0}，W={Wn，n≥1}，X={Xn，n≥1}，且W0=X0=0.

a.s.，于是有

相依性質H：對任意固定的n(n≥1)，定義在(Ω，F，P)上的Wn依賴Zn－1和Wn~(i)，i∈E，從而Wr，0≤r≤n，依賴于Z0，…，Zn－1，Wr~(i)，i∈E，

0≤r≤n.定義在(Ω，F，P)上的Xn(n≥1)依賴于Zn和Xn~(j)，j∈E，從而Xr，0≤r≤n依賴于Z0，…，Zn，Xr~(j)，j∈E，0≤r≤n.

下面證明：U=(A;W，X，Z)就是Markov相依風險模型，其特征組是給定的A.只需證明式（3）.

由于式（12），式（3）的左方等于

P(n+1(Zn)≤x，n+1(Zn+1)≤y，Zn+1=j|

Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(n+1(i)≤x，n+1(j)≤y，Zn+1=j|

Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)

=P(Zn+1=j|Zn=i，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n)·

P(n+1(i)≤x，n+1(j)≤y，|Zn=i，

Zn+1=j，(Wr，Xr，Zr)，0≤r≤n).

由獨立性質D、相依性質H以及Z是Markov鏈，上式最右方的第1因子等于

P(Zn+1=j|Zn=i，Zr，0≤r≤n)=Pij.

由相依性質H，第2因子中的條件只依賴于Z0，…，Zn，Zn+1，Wr~(i)，Xr~(j)，i，j∈E，0≤r≤n.從而由獨立性質D，第2因子中的條件概率成為絕對概率

P(n+1(i)≤x，n+1(j)≤y)

=P(n+1(i)≤x)P(n+1(j)≤y)

=(1－e－λix)Bj(y).

上式第1個等號是由于n+1(i)和n+1(j)獨立.第2個等號是由于n+1(i，ω)與n+1(i，ω2)同分布，分布為以λi為參數的指數分布.n+1(j，ω)與n+1(j，ω2)同分布，分布為Bj.于是式（3）的左方等于右方，即式（3）成立.

這樣，U=(A;W，X，Z)是Markov相依風險模型，其特征組是給定的A.定理證完.參考文獻

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