馬氏調制費率的帶干擾風險模型

摘 要 考慮了一類具有馬氏調制的帶干擾連續時間風險模型，得到了該模型下其條件Gerber-Shiu折現罰金函數所滿足的積分方程，Laplace變換及漸近解.在兩狀態情形下，當索賠額的分布為有理數情況時得到了條件Gerber-Shiu折現罰金函數的具體表達式并給出了數值例子

關鍵詞 馬氏調制；Gerber-shiu折現罰金函數；Laplace變換

中圖分類號 O211.67 文獻標識碼 A

A Markov-Modulated Risk Model Perturbed by Diffusion

SUN Xin1，DUAN Yu1，FANG Shi-zu2

(1. Mathematics Department of Bijie University， Bijie，Guizhou 551700，China；

2. College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning，Guangxi 530004，China)

Abstract This paper studied a Markov-modulated premium income risk model perturbed by diffusion under the condition of continuous time. The integral representations for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions and the Laplace transforms of them were derived， and the asymptotic estimates for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions were also derived. Under the two states model， when the claim size distribution is from the rational family，the explicit solution for the conditional Gerber-Shiu discounted penalty functions was derived. As an application，a number example was given.

Keywords Markov-modulated ; Gerber-Shiu discounted penalty function; Laplace transform

1 引 言

風險理論中一個較活躍的研究分支是對隨機環境中的風險模型的研究， 其中具有馬氏調制的風險模型更是被廣泛研究， 例如較早的研究有［1-4，5］研究了具有馬氏調制的風險模型的破產時刻的赤字［6］，研究了索賠次數和保費均受馬氏過程調制的風險模型的破產概率 ［7］，研究了索賠次數受馬氏過程調制的風險模型的折現罰金函數.在本文中， 利用Gerber-Shiu折現罰金函數的性質，研究一類帶干擾的具有馬氏調制費率的復合Poisson風險模型的Gerber-Shiu折現罰金函數.

2 模型的引入及記號

本文所出現的隨機過程(變量)都是指定義在同一完備概率空間(Ω，F，P)上的隨機過程(變量).

令

Rt=u+∫t0cJ(v)dv－∑Nti=1Zi+σB(t)，t≥0， (1)

其中u=R0≥0是初始盈余，Rt稱為保險公司在時刻t時的盈余資產，{J(t)，t≥0}、N(t)，t≥0和{Zi，i≥1}所代表的過程和文獻［7］中含義是相同的， {B(t)，t≥0}是標準的布朗運動，且假設{Zi，i≥1}，N(t)，t≥0，{J(t)，t≥0}，{B(t)，t≥0}相互獨立．即本文要研究的具有馬氏調制費率的帶干擾風險模型.

記T=inf t≥0t≥0，Rt＜0（T=∞，如果對任意t＞0，有Rt≥0）為破產時刻，對于給定的初始狀態i，其條件破產概率記為ψiu，則有ψiu=P(R(t)＜0，某t＞0|J(0)=i，R(0)=u)，ψu=∑ni=1πiψiu為具有初始分布πi的破產概率，對應的條件生存概率δiu=1－ψiu，i=1，2...n，最終生存概率δu=1－ψu.現在定義初始狀態為i時的條件Gerber-Shiu折現罰金函數為

φ(u，i)=ω0φd(u.i)+φω(u，i)，

其中

φd(u，i)=E［e－δTI(T＜∞，U(T)

=0)|U(0)=u，J0=i］(φd(0，i)=1). (2)

可以看做是由干擾引起的破產時刻T的Laplace變換，而

φω(u，i)=E［e－δTw(U(T－)，|U(T)|)

I(T＜∞)|U(0)=u，J(0)=i］，(φω(0，i)=0) (3)

是由索賠引起的罰金折現期望函數.其中I(·)為示性函數，w(x，y)為非負的有界二元實函數，U(T－)，|U(T)|分別表示破產時瞬時盈余和破產時赤字.δ為非負實數，e－δT可理解為折現因子.以下都假設φu，i關于u可導， φu=∑ni=1πiφu，i為具有初始分布πi的Gerber-Shiu折現罰金函數.很自然可定義保險公司經營的相對安全負荷為

ρ=c－μβμβ，

其中c=∑ni=1qici，且總假設ρ＞0.

3 主要結果

記ω(u)=∫∞uω(u，x－u)f(x)dx，I=diag(1，1，1…，1)，0代表一列向量，e=(1，1，…，1)t，C=(c1，c2，…，cn)t，

φω(u)=(φω(u，1)，φω(u，2)，…，φω(u，n))t，φd(u)=(φd(u，1)，φd(u，2)，…，φd(u，n))t.其中At表示矩陣或向量A的轉置.

定理1 令u≥0，則φω(u)和φd(u)分別滿足式(4)的積分微分方程

σ22φ″ω(u)+Cφ′ω(u)+(Q－(β+

δ)I)φω(u)+β∫u0φω(u－x)dF(x)+

βeω(u)=0， (4)

σ22φ″d(u)+Cφ′d(u)+(Q－(β+

δ)I)φd(u)+β∫u0φd(u－x)dF(x)=0. (5)

證明 在很小的時間區間0，Δh內可以分成以下幾種情況

1)J(t)，t≥0無狀態轉移，并且無索賠發生;2)J(t)，t≥0無狀態轉移，且有一次索賠發生，但尚未導致破產;3)在0，Δh內J(t)，t≥0無狀態轉移，且有一次索賠發生，且該次索賠導致破產;4)在0，Δh內J(t)，t≥0從狀態i發生一次轉移，但無索賠發生;5)在0，Δh內至少發生一次索賠并且J(t)，t≥0在0，h內至少發生一次狀態轉移.

因此利用向后差分方程，令Vi(Δh)=u+ciΔh+σB(Δh)，i∈S，得

φω(u，i)=［1－βΔh－λiΔh+ο(Δh)］e－δΔh·

E［φω(u+ciΔh+σB(Δh)，i)］+［1－λiΔh

+ο(Δh)］∫Δh0β e－(β+δ)sE［∫u+cis+σB(s)0φω(u+

cis+σB(s)－z，i)dF(z)+

∫∞u+cis+σB(s)ω(u+cis+σB(s)，z－u－cis－

σB(s))dF(z)］ds+(1－βΔh+ο(Δh))·

∑nj=1，j≠ipij∫Δh0λie－(λi+δ)sE{φω(u+

cis+σB(s)+cj(h－s)+σB(h－s)，

j)}ds+ο(Δh). (6)

記D=12σ2，由麥克勞林級數

E［φω(Vi(Δh)，i)］=E(∑2k=01k!φ(k)ω(u，i)［ciΔh+

σB(Δh)］k+13!φω(u，i)［ciΔh+σB(Δh)］3)

=φω(u，i)+［ciφ′ω(u，i)+Dφ″ω(u，i)］Δh+ο(Δh)，

令Δh→0并整理得

σ22φ″ω(u，i)+φ′ω(u，i)ci=(β+

δ)φωu，i－β［∫u0φωu－z，idFz+

∫∞uωu，z－udFz］－λi∑nj=1pijφω(u，j).

則對所有的i∈S得

σ22φ″ω(u)+Cφ′ω(u)+(Q－(β+

δ)I)φω(u)+β∫u0φω(u－x)dF(x)+βeω(u)=0.

同理得

σ22φ″d(u)+Cφ′d(u)+(Q－

(β+δ)I)φd(u)+β∫u0φd(u－x)dF(x)=0.

令w(u)=∫∞uω(u，z－u)dF(z)，(s)=∫∞0e－suw(u)du為w(u)的Laplace變換，φω(u，i)的Laplace變換記為φω~(s，i)=∫∞0e－stφω(t，i)dt，記ω(s)=(φω~(s，1)，φω~(s，2)…φω~(s，n))t.

引理2 對δ＞0， 記ai(s)=σ22s2+cis－δ－β(1－(s))，i∈S.令

A(s)=a1(s)00000a2(s)00000000000000000an(s)n×n+Q，

則稱方程det A(s)=0為帶干擾馬氏調制模型的廣義Lundberg基本方程. det A(s)是矩陣A(s)的行列式.det A(s)=0有n個正實根ρ1，ρ2，ρ3，…ρn.

證明 仿［5］定理1的證明可推得.

定理3 對s{s||A(s)|=0}，ω(s)和d(s)可表示為:φω~(s)=A(s)－1Bω(s)，φd~(s)=A(s)－1Bd(s).其中 i∈S，s∈C.

證明 σ22φ″ω(u，i)+φ′ω(u，i)ci=(β+δ)φω(u，i)－β［∫u0φω(u－z，i)dF(z)+∫∞uω(u，z－u)dF(z)］－λi∑nj=1pijφω(u，j)，

對上式兩端進行Laplace變換并整理得

［σ22s2+cis－(λi+δ)－β(1－

(s))］i(s)+λi∑nj=1，j≠ipijφj~(s)

=σ22φ′ω(0，i)－β(s)，

則對所有的i∈S，上式可以表示成矩陣的形式

A(s)φω~(s)=Bω(s)，s∈C. (7)

其中

Bω(s)=(σ22φ′ω(0，1)－β(s)，

σ22φ′ω(0，2)－β(s)，…

σ22φ′ω(0，n)－β(s))t.

則對 s{s||A(s)|≠0}，有ω(s)=A(s)－1Bω(s)，s∈C.

同理令

φd~(s，i)=∫∞0e－suφd(u，i)du，

d(s)=(φd~(s，1)，φd~(s，2)…φd~(s，n))t，

可得

φd~(s)=A(s)－1Bd(s). (8)

其中

Bd(s)=(σ22φ′d(0，1)+σ22s+c1，

σ22φ′d(0，2)+σ22s+c2，…

σ22φ′d(0，n)+σ22s+cn)t.

定理4 φω(u)，φd(u)，φ(u)的漸近解分別為:

φω(u)~Aωe－Rδu，

φd(u)~Ade－Rδu，

φ(u)~(ω0Ad+Aω)e－Rδu.

其中

Aω=A(－Rδ)Bω(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ，

Ad=A(－Rδ)Bd(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ.

證明 由定理2的結論知，對任意的R(s)＞0的s，有

ω(s)=A(s)－1Bω(s)=A(s)Bω(s)det A(s)，

d(s)=A(s)－1Bd(s)=A(s)Bd(s)det A(s) (9)

是解析的.假設(s)存在，則由式(9)知，對所有R(s)＞－Rδ的s是解析的.其中－Rδ表示detA(s)=0在負復半平面上的具有最大實部的零根(也稱為推廣的調節系數).則有Laplace變換的性質得

l(eRδuφω(u，i))=φω~(s－Rδ，i)，

l(eRδuφd(u，i))=φd~(s－Rδ，i)，

所以

lim u→∞eRδuφω(u)=lim s→0sφω~(s－Rδ)=Aω，

lim u→∞eRδuφd(u)=lim s→0sφd~(s－Rδ)=Ad.

假設上述極限存在，(例如如果eRδuφω(u)是u的單調遞增函數(i=1，2，3，…n)).為了方便起見，

令s=－Rδ是φω~(s，i)的單極點(或稱一階極點).因此有de-L'Hopital定理，得到

Aω=A(－Rδ)Bω(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ，

Ad=A(－Rδ)Bd(－Rδ)s(det A(s))|s=－Rδ.(10)

因此得到了折現罰金函數的漸近解.

注 當n=1(即沒有馬氏環境的情況下)，此時α1=0，模型(1)就簡化為帶干擾的經典風險模型，則式(9)就轉化為

(Ds2+cs－λ－δ+λ(s))φω~(s)=λ((ρ)－(s))，(Ds2+cs－λ－δ+λ(s))φd~(s)=Dφ′d(0)+Ds+c.若索賠額分布f(x)的Laplace變換(s)存在，且lim u→∞eRuφ(u)存在， 其中ρ和R是方程Ds2+cs－λ－δ+λ(s)=0的兩根，則lim u→∞eRuφ(u)=λ((－R)－(ρ))+ω0(ρ+R)D－λf′(－R)－c+2DR即是［8］中的結論.

4 兩狀態情形及數值例子

下面討論馬爾克夫過程{J(t)，t≥0}的狀態為2時的模型.在這種情況下，第二部分中的矩陣

A(s)有如下的形式

A(s)=a1(s)－λ1λ1λ2a2(s)－λ2，

且特征方程det A(s)=0.對δ＞0可以寫成

G(s)=(a1(s)－λ1)(a2(s)－λ2)－λ1λ2=0. (11)

在復平面的右半平面上有兩個正的實根， 記為ρ1，ρ2.

對任意函數h(x)，定義它關于復數ρ1，ρ2的一階均差［8］h［ρ1，ρ2］=h(ρ2)－h(ρ1)ρ2－ρ1，二階均差h［ρ1，ρ2，ρ3］=h［ρ1，ρ3］－h［ρ1，ρ2］ρ3－ρ2.將均差的概念推廣到向量或矩陣， 更多詳細內容參閱文獻［8］.

令Λ=diag(β，β)，(s)=((s)，(s))T，式(9)可以寫成

ω(s)=A(s)－1Bω(s)=A(s)Bω(s)det A(s)，

d(s)=A(s)－1Bd(s)=A(s)Bd(s)det A(s)， (12)

其中A(s)為矩陣A(s)的伴隨矩陣.由于φω~(s)對任意R(s)＞0的s都有限，且有引理2知假設ρ1，ρ2是det A(s)=0的根，則ρ1，ρ2也是式(12)的分子的根.也即

A(ρ1)Bω(ρ1)=A(ρ2)Bω(ρ2)， (13)

由均差的定義知，式(13)等價于

A［ρ1，ρ2］Bω(ρ2)=A(ρ1)Bω［ρ1，ρ2］

=A(ρ1)Λ［ρ1，ρ2］， (14)

其中［ρ1，ρ2］=(［ρ1，ρ2］，［ρ1，ρ2］)t.

定理5 φ′ω(0)和φ′d(0)滿足

φ′ω(0)=2βσ2{{A［ρ1，ρ2］}－1A(ρ1)·

［ρ1，ρ2］+(ρ2)}e，

φ′d(0)=－{A［ρ1，ρ2］}－1·

A(ρ1)e－(ρ2e+2σ2C).

此時

e=(1，1)T，C=(c1，c2)T，

φ′ω(0)=(φ′ω(0，1)，φ′ω(0，2))T，

φ′d(0)=(φ′d(0，1)，φ′d(0，2))T.

證明略.

定理6 當{J(t)，t≥0}的狀態為2時，ω(s)，d(s)可以表示為

φω~(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1，s］Λ［ρ2，s］－A(ρ1)Λ［ρ2，ρ1，s］+A［ρ2，ρ1，s］Bω(ρ2)}det A(s)，φd~(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){A［ρ1，s］De+A［ρ2，ρ1，s］Bd(ρ2)}det A(s)，

其中Bd(ρ2)=－D{A［ρ1，ρ2］}－1A(ρ1)e，Bω(ρ2)=β{A［ρ1，ρ2］}－1A(ρ1)［ρ1，ρ2］e.

證明 只證φω~(s)，類似可得φd~(s). 因為ρ1，ρ2為 det A(s)=0的解， 所以由式(12)得

A(s)B(s)=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1，

s］Λ［ρ2，s］－A(ρ1)Λ［ρ2，ρ1，s］+

A［ρ2，ρ1，s］B(ρ2)}， (15)

由式(15)知

φω~(s)=A(s)Bω(s)det A(s)

=(s－ρ1)(s－ρ2){－A［ρ1，s］Λ［ρ2，s］－A(ρ1)Λ［ρ2，ρ1，s］}det A(s)

+(s－ρ1)(s－ρ2)A［ρ2，ρ1，s］Bω(ρ2)det A(s)，

將其整理即得φω~(s)的表達式，類似可得φd~(s)的表達式.

下面考慮當索賠額的密度函數為有理函數族時的情形.例如(s)=pk(s)pk－1(s)(k∈N+)，其中pk(s)為k次多項式，pk－1(s)為k－1次多項式，首項系數均為1，且滿足pk－1(0)=pk(0)，pk(s)=0解的實部均為負.則有

定理7 當{J(t)，t≥0}的狀態為2，(s)=pk(s)pk－1(s)時，φω(u)、φd(u)可以表示為

φω(u)=1D2∑2k+2j=1e－Rju{(－diag(h2j，

h1j)ΛTρ2ω(u)－gjA(ρ1)ΛTρ2Tρ1ω(u)+

diag(g2j，g1j)Bω(ρ2)}，

φd(u)=1D2∑2k+2j=1{e－Rjudiag(h2j，

h1j)De+diag(g2j，g1j)Bd(ρ2)}.

證明 只證φω(u)，類似可得φd(u)， (12)式的分子分母同乘以p2k得

ω(s)=A(s)Bω(s)p2k(s)det A(s)p2k(s)， (16)

所以式(12)的分母是次數為2k+4的多項式，且首項系數為D2，記作D2k+4(s).由引理2知det A(s)=0有正根ρ1和ρ2和兩個實負根，所以D2k+4(s)=det A(s)p2k(s)=D2(s－ρ1)(s－ρ2)Π2k+2i=1(s+Ri)，其中Ri是具有正實部的復數，為簡單起見，假設Ri(i=1，2…2k+2)互不相同.

令

hi(s)=ai［ρ1，s］p2k(s)，

gi(s)=ai［ρ1，ρ2，s］p2k(s)，i=1，2.

其中ai［ρ1，s］=D(s+ρ1)+ci+λ［ρ1，s］，ai［ρ1，ρ2，s］=D+λ［ρ1，ρ2，s］(i=1，2).不難看出hi(s)和gi(s)分別是次數為2k+1和2k的多項式.由定理6知，式(16)可以重新寫為

ω(s)=－diag(h2(s)，h1(s))Λ［ρ2，s］－

A(ρ1)Λ［ρ2，ρ1，s］p2k(s)+diag(g2(s)，

g1(s))Bω(ρ2)/D2Π2k+2j=1(s+Rj)，

進而可寫為

ω(s)=1D2∑2k+2j=11s+Rj{－diag(h2j，

h1j)Λ［ρ2，s］－gjA(ρ1)Λ［ρ2，ρ1，s］+

diag(g2j，g1j)Bω(ρ2)}，

i=1，2，j=1，2，…，2k+2， (17)

其中

hij=hi(－Rj)Π2k+2v=1，v≠j(Rv－Rj)，

gij=gi(－Rj)Π2k+2v=1，v≠j(Rv－Rj)，

gj=pk(－Rj)Π2k+2v=1，v≠j(Rv－Rj)，

類似的，得到

d(s)=1D2∑2k+2j=11s+Rj{diag(h2j，

h1j)D+diag(g2j，g1j)Bd(ρ2)}，(18)

引入算子Trh(y)=∫∞ye－r(x－y)h(x)dx，y≥0.對式(17)和(18)利用此算子及Laplace變換的逆運算即得定理結論.

例8 當δ=0，ω(x，y)=1，ω0=1，此時式(2)和(3)就分別轉化為模型(1)在初始狀態為i、初始盈余為u時的由索賠引起的破產概率和由干擾引起的破產概率.索賠額為指數分布時，其密度函數的Laplace變換為(s)=p0p1=βs+β，而且有ω(u)=e－βu，u≥0，ρ1=0和ρ2=ρ是方程(11)的解，方程D5(s)=0的其他三個根記為－Rj，j=1，2，3，其中Rj均有正的實部.考慮c1=1，c2=2，λ=1，f(x)=e－x，α1=13，α2=23的情況.在這種情形下，方程|A(s)|p2(s)=0有6個根，分別為0， 0.647 236， －2.813 096， －2.060 912， －0.632 861， －0.140 367.

因此

ψs(u)=－0.213 710e－2.813 096u－0.183 025e－2.060 912u+0.314 278e－0.632 861u+0.080 731e－0.140 367u，

ψd(u)=0.161 514e－2.813 096u－0.011 220e－2.060 912u+0.432 456e－0.632 861u+0.394 516e－0.140 367u，

ψ(u)=－0.052 196e－2.813 096u－0.194 245e－2.060 912u+0.746 734e－0.632 861u+0.475 243e－0.140 367u

參考文獻

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