化歸與轉化思想視角下幾何問題的變式與探究

在教學過程中，從一道簡單且具代表性的試題入手、從不同的角度將問題進行拓展變式并加以探究，可以達到活躍學生的數學思維、拓寬思路、促進知識網絡的系統化、深化數學思想的目地，提高課堂教學的效率.對此，美國著名的數學教育家G ·波利亞有一段深刻的闡述：“一個專心的、認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”本文擬以幾何問題為例，探討在化歸與轉化思想視角下進行問題的変式與探究的原則和方法.

1 空間幾何問題的變式與探究

1.1 空間幾何問題的特點分析

空間幾何問題的特點是題干的信息多，空間點、線、面的位置關系復雜，圖形抽象，單個例題一般只能認識部分的幾何性質、再現若干定理，難于對不同數學思維方法進行條理性歸納，更談不上對數學思想方法的深入理解乃至升華.

1.2 空間幾何問題探究的對策

問題的探究應注意一題多解、一題多變、一法多用.多角度觀察空間幾何問題，認識圖形中的數量關系，進一步根據圖形特點將條件適當變形，產生“新的”問題（發現問題），且與之前的問題展開對比分析（聯系與區別），思考是否可以實現化歸與轉化；設計解題思路，拓展學生探究問題的方式和角度，逐步形成觀察、分析空間圖形數量關系的基本意識；深化對數學思想方法的再認識，培養學生的創新意識.

1.3 空間幾何問題的變式設計原則

在化歸與轉化思想視角下進行空間幾何問題的変式設計與探究，其遵循的原則是從易到難、變靜為動、由形究數、以數識形.選擇有一定開放度的中檔題作為母題，在系列變式設計過程中注意從簡單開始，變靜態圖象分析為動態圖象解析，在問題的探究過程中注意將題目中有關幾何量的關系（包括數量關系）反應到具體的幾何圖形中，并結合幾何圖形的特點，思考是否可以轉化為熟知的問題，匯，將平面的“等距問題”拓展到空間.

変式五 試一試，若是從旋轉、最短路線、概率、線性規劃等角度出發，本題還可以設計出什么樣的數學問題？

變式意圖 探究與立體幾何有關的知識交匯方式，換一個角度重新審視空間幾何體.

1.5 変式與探究的反思

（1）對空間幾何的研究，在引入空間向量后，有關定量計算就顯得相對容易一些，但對于定性證明問題的探究還是要適度加強，以體現《課標》對空間想象能力的教學要求，達到對空間想象力、邏輯推理能力和幾何直觀能力的培養目標.

（2）空間幾何的本質是研究空間點、線、面的位置關系，對問題的變式與探究的關鍵，一是作圖（添加適當的輔助線）；二是空間數量關系的轉化.前者要從整體（幾何體的主要特征）出發，結合條件中空間幾何量的位置關系和數量關系在局部作圖；后者的關鍵是化歸和轉化，分析未知量與已知量的關系，在相應的幾何圖形中實現數量轉化.

2 解析幾何問題的變式與探究

2.1 解析幾何問題的特點分析

解析幾何問題的特點是題干中的關鍵條件較為隱蔽，已知條件與曲線的性質之間的內在聯系等待挖掘，而圖形中的幾何性質需要通過相應曲線的代數性質加以轉化并體現.這要求學生對相關概念與性質有較為完整的結構性認識，并從中提取有用的知識與方法，結合圖形探究問題.

2.2 解析幾何問題探究的對策

在探究并進行問題分析的過程中，注意分析具體方法的觀察和探究的角度，比較不同方法的差異，汲取問題變式的營養與靈感，例如，可以改變曲線類型或因果互換；設計系列（相似或同類）問題，進而對幾何曲線形成較完整的認知.同時滲透數形結合及化歸與轉化思想，逐步提高學生從形（幾何性質）到數（代數方程）的轉化能力.

2.3 解析幾何問題的變式設計原則

在化歸與轉化思想視角下進行解析幾何問題的變式設計可從特殊到一般，由定量計算到定性（含參）分析.從特殊曲線（或特殊點）開始，逐步推廣到某類曲線進行一般性研究，總結出問題研究的一般性方法；問題探究的過程中要緊扣解析法思想，注意數形結合與化歸轉化.

2.5 變式與探究的反思

（1）解析法探究平面幾何問題的一個重要思想便是數形結合，而如何準確構造并把握圖形，是學生的一個薄弱點，因此要進行適度的尺規作圖訓練，同時在教學中，盡量利用黑板作圖（展現具體過程與步驟），以提高作圖能力.

（2）解題過程中要重視通過嚴謹的推導來探究問題，并及時加以歸納、總結，以突出問題的本質和數學思想方法.所謂思想：思想即為日思夜想，也就是人們對于現實中的一些問題（方法）經過長期思考后歸納總結形成的某種認識，而數學思想的形成需要兩個方面的作用力，一是教師在課堂教學中的長期引導；二是學生在解題過程中不斷的練習以及解題之后的反思歸納；只有做到以上兩點，方能真正體現滲透二字.

作為結束，有必要指出，通過變式探究一道數學問題，變條件為結論，或改變背景將其推廣，站在不同的角度分析問題，探究“發現”多種解題方法，辨析其中的區別與聯系，既提高了學生的解題分析能力，活躍數學思維，又從不同的角度序化和活化所學知識，這樣將知識、能力和思想方法在新情境、多層次中，不斷反復與滲透，達到螺旋式的認識、再認識，深化、乃至升華的效果.