《破解網(wǎng)上“懸賞”題有感》讀后感

1 問題的解答

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)該題不僅圖形簡單，而且要證明的結(jié)果形式漂亮，每項分式都和一個交點有關(guān)系.比如第一個分式的4條線段有一個公共端點Q.再仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分式中的各條線段都和梅氏定理有關(guān).即當直線PQR截ΔABC時，由梅氏的作者還說考慮過向量法，但是始終不得要領(lǐng).這句話使得筆者產(chǎn)生了一種一定要解決這道題的強烈愿望.其實當我看到這個問題的時候，就覺得非常親切，似曾相識，腦子里蹦出的第一個想法就是用基向量，再結(jié)合梅氏定理.筆者之所以能想到用這樣的方法去解決也絕非偶然，得益于自己在進行向量的常規(guī)教學(xué)時，也會運用梅氏定理來解決一些比

2 問題破解后的思考

對于這個題，筆者做了一些思考，為什么那些碰壁的高手沒能用如此樸實的方法解決該題？奇怪！向量是高中數(shù)學(xué)中一塊很重要的內(nèi)容，這個工具用的好，往往可以起到事半功倍的效果.但是如此重要的內(nèi)容，我們對它的重視程度顯然還不夠.在平時的向量應(yīng)用的教學(xué)過程中，教師都會拿出幾道平面幾何題，讓大家用向量的運算來證明其結(jié)果，讓大家感受向量的威力.但是由于給出的問題過于簡單，用初中學(xué)過的知識，往往不用動筆就能解決，并且很少有教師布置類似的作業(yè)讓學(xué)生課后去思考，從而讓學(xué)生覺得，用向量運算來解決問題比較麻煩，不實用.因此向量運算常常被孤立起來，只有在向量的問題里面，大家才會想到用向量運算來解決問題.這樣的結(jié)果就是將它束之高閣，使向量運算不能發(fā)揮其應(yīng)有的威力.筆者倒是認為，用向量運算來做一些證明很能夠鍛煉學(xué)生向量運算的功底，并且也能夠讓學(xué)生熟悉向量的一些很重要的性質(zhì)，因此課后可以適當?shù)牧粢稽c練習(xí)，供學(xué)生去思考鞏固.甚至是高考的時候，也可以出一道類似的問題來考察學(xué)生相應(yīng)的能力.

對于競賽的學(xué)生來說，向量法更加應(yīng)該作為一種基本的證明方法讓學(xué)生加以掌握.筆者將這道題當作作業(yè)布置給競賽班的學(xué)生，檢查的時候，大失所望，發(fā)現(xiàn)他們也都覺得無從下手，沒有人想到去嘗試一下向量的方法.文[1]的作者雖然想到了向量法，但是中途卻放棄了，筆者認為這樣非常可惜，一條通往勝利彼岸的光輝大道，就這樣被錯過了.用向量方法來解決問題，難點通常是在于怎么用基向量去表示其他向量.而本題可利用梅氏定理，建立起各條線段之間比值的關(guān)系.解決了這個難點，這使得筆者對解決此題感到信心倍增.而最后當我向?qū)W生介紹此解法的時候，他們也都覺得異常驚奇，連呼沒想到.

對于競賽中的平面幾何問題，解析法作為一種很重要的方法，幾乎各種競賽書上都提到過，有的書甚至專門開設(shè)了一個專題來介紹解析法的應(yīng)用.但是向量法沒有如此的地位，有些書只是簡單例舉了幾個例子，便一筆帶過，而課后練習(xí)的參考答案中也很少提到這種方法.在向量運算的時候，我們都知道有2種形式的運算：一種是先建立坐標系，然后借助坐標進行運算；另外一種是先假設(shè)基向量，然后借助向量的性質(zhì)進行運算.兩種方法各有優(yōu)劣，我們甚至可以認為解析法是向量法的一種.從證明過程的角度看，解析法和向量法主要都是算，只是前者用的是坐標形式，而后者用的是向量形式，因此筆者認為，不能讓解析法和向量法自立門戶，各自獨立，而是應(yīng)該讓兩者有機的結(jié)合起來，不能厚此薄彼.應(yīng)當讓向量法和解析法成為我們手中2樣地位同等的武器.只有這樣，以后再提到可以用向量法來解決某個問題的時候，學(xué)生才不會感到詫異，才不會覺得神奇.

3 問題的再探究

在破解此題之后，筆者仍覺得意猶未盡.一道好題，不僅要具備漂亮的形式和簡潔的結(jié)論，同時還應(yīng)該有多種解決的途徑.而波利亞在《怎樣解題》一書中也給我們留了一個提示語：你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)論？這似乎在暗示我，此題應(yīng)該還有其他的解決途徑.因此筆者靜下心來，開始重新審視這個問題.

最后提出2個問題，原命題的逆命題成立嗎？在類似塞瓦定理的圖形中，是否也有類似的結(jié)論成立？

參考文獻

[1]金邵鑫.破解網(wǎng)上“懸賞”題有感.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（3）：28-29