合理建模有效解決“選優(yōu)”問題

在生產(chǎn)和實際生活中，人們?yōu)榱诉_到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗，或是為了追求利潤的最大化，常常需要將一些相關的因素進行最佳組合或選取最優(yōu)點，這就是“選優(yōu)”問題.而當我們只抽取了“選優(yōu)”問題中量的關系或空間形式而舍棄其它一切時，我們就會發(fā)現(xiàn)“選優(yōu)”問題在數(shù)學中的常常表現(xiàn)為“最值”問題.

建模則是利用數(shù)學模型來反映一個過程或一種現(xiàn)象的運動，變化規(guī)律，它是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的一個過程，其過程可以通過以下框圖體現(xiàn)：

數(shù)學建模有助于讓學生體驗數(shù)學模型在解決“選優(yōu)”問題過程中的價值和作用，在問題解決的整個流程中，數(shù)學模型的建立尤為重要，它是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量的相依關系，采用形式化的數(shù)學語言對實際問題進行概括或近似表述，它是數(shù)學抽象的產(chǎn)物.數(shù)學模型的形式是多樣的，它可以是幾何圖形、方程式、線性規(guī)劃、函數(shù)關系式、不等式，甚至可以是定理、公理及公式系列所構成算法系統(tǒng)等等.如何合理地建立與實際問題相對應的數(shù)學模型，這是實際問題得以解決的重點、難點.

本文旨在通過生活實例，說明將“選優(yōu)”問題抽象為數(shù)學問題之后，如何幫助學生觀察、實驗、猜想，矯正與調(diào)控等合情推理方式，分析對象及其關系的結構，進而用數(shù)學語言，關系符號理想化地表示出各種量的關系，合理地把數(shù)學問題抽象為一個“數(shù)學模型”，有效地運用數(shù)學模型方法解決“選優(yōu)”問題.從而培養(yǎng)學生善于抓住系統(tǒng)要點的洞察力及到形成“數(shù)學模型”的翻譯的能力，使他們能夠進一步體會到數(shù)學的基本思想、方法，提高應用能力.并讓學生在建模過程中充分享受到用所掌握的數(shù)學知識成功地解決“選優(yōu)”問題所帶來的喜悅，提高學生數(shù)學學習的興趣.

下面以沈翔、趙小平編著的《高中數(shù)學應用題（新題型）》（華東師范大學出版社）第266頁，11.4“養(yǎng)雞場的圍欄”這一問題為例，說明如何引導學生通過審題，合理地建立數(shù)學模型，解決“選優(yōu)”問題.

例 某養(yǎng)雞場想筑一個面積為144平方米的長方形圍欄，圍欄的一面靠墻，現(xiàn)有50米的鐵絲網(wǎng)，要筑成這樣的圍欄，問最少要用多少米的鐵絲網(wǎng)？

解讀題意，將“選優(yōu)”問題抽象為 “最值”問題

解 設長方形圍欄的邊長分別為x米，y米（如右圖所示）依題意可知，條件為：

（2）構造“線性規(guī)劃”模型，求可行域的最優(yōu)解.

分析 由條件可知，本題的未知量長方形圍欄邊長x， y的約束條件均可在平面上用平面的某個區(qū)域表示.而“線性規(guī)劃”又為解決平面區(qū)域最優(yōu)解問題提供了有效的思路，它是優(yōu)化的具體模型之一，由此猜想可以構造“線性規(guī)劃”模型解題.

解 依題意，建立目標函數(shù)z=2x+y，即y=?2x+z.∵x， yy

答 最少要用24 2米的鐵絲網(wǎng).

模型的表述及解決方案：①構造一元函數(shù)的表達式y(tǒng)=f( x )；②令f′( x )=0，求函數(shù)的極值；③通過導數(shù)判斷函數(shù)在極值點附近的單調(diào)性；④對極值的性質(zhì)作出判斷；⑤比較極值與定義域上的兩個端點函數(shù)值的大小 ；⑥求出函數(shù)在定義域內(nèi)的最值.

本文通過將一個生活實例抽象為數(shù)學問題之后，對建模思路進行探索，幫助和啟發(fā)學生通過觀察、猜想等合情的推理方式，掌握了建立數(shù)學模型的方法，有效地解決了實際生活中的“選優(yōu)”問題.充分培養(yǎng)了學生應用數(shù)學模型方法分析問題和解決問題的能力.增強學生對數(shù)學作為工具學科在解決實際問題的價值理解 ，培養(yǎng)了學生的數(shù)學應用意識，提高了實踐能力.

參考文獻

[1]普通高中數(shù)學課程標準（實驗）.數(shù)學建模.人民教育出版社，2003[2]馮永明，張啟風，劉鳳文.中學數(shù)學建模的教學構想與實踐.數(shù)學通訊，2000(7)：16-19

[3]沈翔，趙小平.高中數(shù)學應用題（新題型）華東師范大學出版社，2002[4]錢佩玲，邵光華.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學.北京師范大學出版社，2000