一個平面向量題的不同解法及分析
2012-01-01 00:00:00
福建中學數學 2012年3期
問題：已知非零向量a，b夾角為60d，且滿足|a2b |=2，則ab的最大值為.
1 不同的解法
解法一 （代數法）|a2b|2=4，
|a|2+4|b |24a b=4，|a |2+4|b |2=4a b+4.
∵|a|2+4|b |2≥4|a | |b |，
2 不同解法的分析
解法一是純代數的方法，運用向量的代數運算將條件和所求都轉化為|a || b |，其中還涉及了基本不等式的運用.解決本題也可以運用解三角形的余弦定理，它與解法一的本質是相同的.
在解法三中，通過坐標系的建立，動點B，C的坐標能夠用一個變量θ來表示，再運用向量的數量積將a b轉化為關于變量θ的函數，從而求出其最大值.與前面兩種解法比較，坐標系本身就是數與形聯結的橋梁，解法三將幾何最值問題轉化為了代數的函數最值問題，從而利用代數方法加以解決，其取到最大值時的θ=120d對應的B，C點關于x軸對稱，也即是當AB=AC時取到.
平面向量是溝通代數與幾何的工具之一，平面向量的加、減、數乘運算和數量積等運算都具有明顯的幾何背景，因此解決向量問題可以更多地從數和形的角度分別探究，也有利于數形結合思想的自然滲透.
