多元函數極值問題的向量解法

多元函數涉及到的量比較多，故這類函數的極值問題比較難以求解.但若利用向量方法求解，則事半功倍.先看兩個命題：

命題1 若()x y=，a，

xxyyxyxy?+?≥+?+.當且僅當

=且）時等號成立.

xy

yyxyxy

，，，，n時等號成立.

兩個命題的結論比較明顯，讀者自證.

下面例談兩個命題在求解多元函數極值問題中的應用.

()()(2)2 f x yxyy

xyy

x

x≥×?=，當且僅當

()(3 1x y =

，)，8

)的最小值.解 據命題2有

??+????

ab+=，求三元函數()(cosf xxaαβα=??

，，

ab x(coscos )(sinsin )xabab

x

( cos )( sin ) )bbββ≥×?+=，當且僅當

==且

，，，，時，?

∈?? sincos()(sin )( sincos rx的最小值.

解 據命題1有

?+?s ) sincoscos 1 sincos()() cos sin

sin0 sin