例談構(gòu)造分布列在解題中的應(yīng)用

荷蘭著名的數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)老師的任務(wù)就是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行再創(chuàng)造工作，學(xué)生只有通過(guò)自己的再創(chuàng)造而獲得的知識(shí)才真被掌握和靈活運(yùn)用” .

構(gòu)造法因神奇的構(gòu)造模型，往往獲得新穎、獨(dú)特、簡(jiǎn)捷的解法，常常讓人豁然開(kāi)朗、茅塞頓開(kāi)，學(xué)生身心得到一種極度的快感與滿足.通過(guò)情感態(tài)度與價(jià)值有機(jī)結(jié)合，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生

的思維能力，發(fā)展學(xué)生的智力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)具有創(chuàng)新、創(chuàng)造型人才是課標(biāo)課程改革的首要任務(wù).

我們知道離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為： B時(shí)等號(hào)成立.

上述結(jié)論功能強(qiáng)大，特別是在競(jìng)賽中，可惜學(xué)生很少使用，障礙主要在于如何構(gòu)造恰當(dāng)分布列，本文借助幾道大家熟悉的例子構(gòu)造分布列，利用

()2

EEξξ≥巧解，以期拋磚引玉.

1 利用結(jié)論等號(hào)成立的條件巧解方程

例1（第18屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

求所有的實(shí)數(shù)x，使得

1111 1+1

x x

xx

=?+?.

分析 將已知變形可得

∴=（舍負(fù)根）.

事實(shí)上，本題就是第三屆“希望杯”的一道試題：

abba1?+?=，則. 221ab+=

2 利用結(jié)論等號(hào)成立的條件巧解方程組

例2 （1973年美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

分析 由字母的對(duì)稱性容易構(gòu)造離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξxy z.

此時(shí)2()EEξξ=，則得到1xyzEξ====，且滿足5553xyz++=.

故該方程組的解為1xyz===.

3 利用結(jié)論等號(hào)成立的條件證明等式

例3 （1996年山東省競(jìng)賽試題）

已知+=.

分析 依據(jù)外形特征構(gòu)造離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

+=.

4 利用結(jié)論求幾何最值

例4 （第22屆IMO競(jìng)賽試題）設(shè)是 PABCΔ內(nèi)任一點(diǎn)，P到邊，CA，

BCAB

d2 d3 d分析 設(shè)三角形面積為，構(gòu)造離散型隨機(jī)變量

S

11

5 利用結(jié)論求最值（或范圍）

例5 （第一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽備選題）已知，且滿足

++

+++

=.

由此構(gòu)造離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ x y z例6 （第24屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）ab cde∈R，，，，，且，

8 ab++22216cde++=，求e的取值范圍.

分析 依據(jù)已知條件的外形結(jié)構(gòu)而構(gòu)造離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξabc d

∴≤≤.

6 利用結(jié)論巧證無(wú)理不等式例7 （第八屆“希望杯”試題）若

1

a b c+ + =，

證明：31a+ + 31b+ + 31c+3 2≤.

分析 構(gòu)造離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

+ ++ ++

.

故31+ 31+ 313 2abc+++≤（當(dāng)且僅當(dāng)

abc===時(shí)等號(hào)成立）.

事實(shí)上，本題可以推廣為：

若，，，，且，則有

n =4k =，

1

m =，1p =就是1960年蘇聯(lián)列寧格勒競(jìng)賽試題.

7 利用結(jié)論巧證分式不等式

例8 （第36屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

設(shè)，b，

++≥+++

.

令

，=

tab bc ca≥???，

即，構(gòu)造隨機(jī)變量

6

+

b ca ca b

abacab bcac bct?≥

+++

2222223

∈R+

212121

EEξξ≥解題關(guān)鍵是：

（1）充分利用及；

0

（2）巧妙利用已知與求解（求證）的外形（有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形）結(jié)構(gòu)，其中尤其對(duì)分式、根式最有效；

（3）巧妙利用等號(hào)成立的條件.

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中一種富有創(chuàng)造性的思維方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性.

構(gòu)造法盡管沒(méi)有固定的程序可循，也沒(méi)有固定的模式套用，但并不是孤立的，它需要借助于聯(lián)想法、化歸法等.

構(gòu)造法可以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力，它是中學(xué)數(shù)學(xué)思想的一朵奇葩，充滿著創(chuàng)造的智慧與優(yōu)美.

參考文獻(xiàn)

[1]任勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題百技巧.福建：福建少年兒童出版社，1998

[2]熊斌，陳雙雙.解題高手高中數(shù)學(xué).上海：華東師范大學(xué)出版社，2008