探究分類情景下的平面幾何規律教學

一切真知都是從直接經驗發源的，但人不能事事直接經驗，事實上多數的知識都是間接經驗的東西，這就是一切古代的和外域的知識.學生的學習是在較短的時間內接受人類的認識成果，一般情況下，其學習活動要在教師的指導下進行，而教師的指導和傳授，主要是通過課堂教學來完成，這樣數學課堂教學是教師永遠探究的課題.

在數學中，我們通常把法則、性質、公式、公理、定理以及反映這些基本知識的數學思想和數學方法統稱為數學規律.由此可見，數學規律包含的內涵十分豐富，通過數學規律的教學，使學生在掌握知識的同時，也培養學生一定的數學思想.正因為數學規律包含的內容豐富，不可能找到一個通用的規律，因此，我認為對不同的數學規律，應該采用不同的分類背景，本文就采用不同的分類背景對平面幾何規律教學做如下探究：

首先，要解決數學規律教學中的分類以什么為背景.當我們在教學中問及平面幾何學什么時，學生往往無從回答，而這一點正是關鍵所在，常常也為教師所忽略.在平面幾何課里，主要學習圖形識別、性質、畫法以及推理等，并指出要注意平面幾何圖形的形狀、大小和位置，這實際上為我們提供了一個分類的背景：平面幾何只研究平面圖形的形狀、大小和位置關系，形狀是直觀表象，大小是數量上的度量，位置關系指的是（兩個或兩個以上）事物之間的聯系，而平面幾何規律一般都體現了這三者的關系，用形狀、大小、位置關系作為平面幾何規律教學的分類背景，從邏輯學觀點看，基本符合分類原則， 從中考試題看，也是各年中考必出現的題型.

如：(2011年中考廣州卷)已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，下列四個命題：

ba⊥a⊥/ /bc

其中真命題的是_________.（填寫所有真命題的序號）；

又如： (2011年中考山東卷)如圖1，正方形ABCD的邊長為4，M，

分別是，CD上的兩個動點，且始終保持時，四邊形ABCN的面積最大.

其次，要明確在上述分類的背景下，平面幾何規律教學內容的三條主線，即：

（1）形狀的主線：從點、直線（線段、射線）、角、三角形（含全等形、相似形等同類圖形）、四邊形（平行四邊形、梯形）及圓等.

如：兩點確定一條直線，三角形的穩定性，不在同一直線上的三個點確定一個圓；

（2）數量的主線：指長度（如三角形邊長、中線長、中位線長、四邊形對角線長、圓的半徑、周長等）、角的量度及圖形面積等.

如：線段的長度計算，三角形的內角和是180度的研究；

（3）位置關系的主線：指點與直線（線段、射線）、直線（線段、射線）與直線、射線與角、三角形與線段（高、角平分線、中線、中位線等）、四邊形與點（線段、直線、角、三角形、四邊形）、直線與圓、圓與圓的位置關系等.

如：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

從這三條主線按學生的認知狀況分析，既涉及許多形狀與大小的基本概念又研究一些位置關系，從七年級平面幾何入門教學時，就引導學生經歷概念的產生過程，并指明所講概念是關于形狀的，或是關于數量大小的，還是研究位置關系等，以激發學生的認知結構，促進他們在認知結構中建立分類背景的意識.

如：鄰補角和對頂角的概念都是結合圖形描述的，鄰補角是兩個互補的角，它們又有一條公共邊，對頂角是兩條相交直線構成的，它們都反應了其中的位置關系和數量關系.

再次，如何實施分類情景下的規律教學，研究平面幾何的性質、判定定理，就是揭示上述三條主線的互為因果關系.

（1）有關性質定理的規律探究，一般是已知圖形形狀，而得出這一形狀中某些元素所具有的數量大小及有關的位置關系；

（2）有關判定定理的規律探究則大多是根據數量的大小或位置關系來確定圖形形狀；

（3）有的性質定理是已知圖形形狀再附加位置關系（或大小關系）而得出的，在教學中可以此為突破口，設立問題情景.

如：角平分線性質定理“在角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”的教學.

在分析命題時，先引導學生分析：

①題目中出現哪些圖形（點、角、角平分線）；

②是否有數量關系（距離）；

③是否有位置關系（點在角的平分線上、距離概念中內隱含的垂直關系）.

通過這樣分析，使學生易于理解題設與結論.

題設：“一個點在一個角的平分線上”，實質是已知圖形形狀以及圖形之間的位置關系；

結論：“它到角的兩邊距離相等” ，實質是可得到點與角的兩邊距離的數量大小.

接著引導學生如何證明結論；一般是從題設與結論兩方面入手（已知什么？需知什么？）.

根據前面分析的結果所示的不同背景設問與引導：

①回憶、聯想與題設、結論相關的定理、定義等有哪些；

②通過判斷、篩選出能溝通本題題設與結論的有關內容，確定出所需要的定理等.

通過對圖形的分析可得出：題設中角平分線把角分成相等的兩部分（數量關系），結論中的距離概念包含兩層意思——垂直的位置關系與線段長度，而要證明距離相等，即證兩條線段長度相等，這兩條線段又分別位于兩個三角形中，由已學過的定理得出要通過證三角形全等來解決問題.

進而再考慮用哪一個判定定理，這在前面分析中易得有兩個角相等及公共邊，故用“角角邊”判定，這也就是課本中的證法.

在完成證明之后，還要引導學生認識本定理結

論的本質是屬于數量關系這一主線的，今后碰到與之有關的問題，可直接應用這一結論，從而幫助學生進一步豐富和充實已有的認知結構.

值得特別提出的是，在聯想相關信息的內容時，仍應以三條主線為分類情景，尋找有關定理的相應條件與結論.

如： (2011年中考北京卷)如圖2，在ABCΔ，ABAC=，以AB為直徑的分別交

O

=，求和的長. BCBF

第（1）問是思考能判斷位置關系的定理有那些?怎樣“從未知探求需知”.

第（2）問是要獲得數量關系這一主線，聯想到比例式，直角三角形，等腰三角形等知識，進而找到解決問題的途徑.這一點也是通常所說的解決問題教學中的“思路”，解題過程滲透“方程思想” .

再如：(2011年中考湖北咸寧卷)（1）如圖3，在正方形ABCD中，AEFΔ的頂點，清題意，思路就清晰，按規律思考，按程序解決，問題就應刃而解.

綜上所述，在分類情景下進行平面幾何規律教學，其一般步驟可按下方式進行：

（1）引導學生分清幾何規律中涉及哪些圖形，其數量大小和位置關系如何；

（2）分清題設與結論各與哪一種分類主線有關；

（3）通過聯想，獲得已有認知結構中與該種分類主線相關的信息；

（4）篩選出與題設、結論均相關的那一部分信息，利用此信息在題設與結論間架起橋梁，使問題得以解決；

（5）幫助學生把新知的分類主線“納入”已有知識結構，指導應用于解決其它問題.

總之，在分類情景下進行數學規律教學，就是展現思維過程，教師站在學生的角度去思考，才能引導學生找準從認知結構中已有知識水平與經過努力可達到水平之間的最近發展區，并給予適時的點撥、指導.

在得出題設與結論之前，分析證題思路的時候，多次在進行這分類背景的加工處理，充分暴露思維過程，讓學生參與思維活動，進而培養和提高學生思維品質，及時對學生進行數學思想和方法的培養，并貫穿于整個教學過程.

布魯姆指出：“教學的藝術在于：把一個復雜的最終產物分解為必須分別地并按某種順序達到的組成部分.

教授任何一種事物，便是在向著終極目標前進時，一面記住所要達到的最終模型，一面集中力量走好每一步.”

因此，在指導學生學習的同時，應該時時注意挖掘教材中的分類因素，有目的地在教學過程中經常滲透分類思想，時時把握規律教學，以增強學生的分類意識，促進學生思維的不斷發展，培養學生的個性品質，提高學生的數學素養.

參考文獻

[1]陳琦，劉儒德.當代教育心理學.北京：北京師范大學出版社， 2007

[2]李建材.中學數學教師教學基本功講座.北京：首都師范大學出版社，1991