含Hardy位勢的超線性p-Laplace方程的無窮多解

陳自高， 谷留新

(華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450011)

0 引言

考慮含Hardy位勢的p-Laplace方程的Dirichlet問題

(1)

(2)

(3)

(f3)存在μ>0及r>0,對x∈Ω,|s|≥r及t∈(0,1]，有Φ(t,s)≤μΦ(1,s);

(f4)對(x,s)∈Ω×R，有f(x,-s)=-f(x,s).

定理1假設(shè)非線性項f(x,s)滿足條件(f1)～(f4)，則橢圓問題(1)存在無窮多解{uk}k∈N滿足當k→∞時,

1 帶Cerami條件的噴泉定理

則由條件f(3)，可以得到

引理2在假設(shè)(f1)～(f4)下，則泛函I滿足Cerami條件．

證明下面驗證泛函I滿足文獻[1]中定義2.1的(i)、(ii)．

I(uk)→c,‖uk‖→∞,|I′(uk)|·‖uk‖→0.

(4)

由假設(shè)易知〈I′(uk),uk〉→0,對任意K>0的常數(shù)，令

(5)

下面分兩種情況產(chǎn)生矛盾，如果w恒為零，由wk(x)→w(x)=0,a.e.x∈Ω，則

由引理1

(6)

在式(5)中取K=C0，則有‖wk‖p=2C0，這與式(6)矛盾，因此w恒為零不成立．

如果w不恒為零，由式(4)知

設(shè)Ω0={x∈Ω∶w(x)=0}，則|ΩΩ0|>0,于是

(7)

對于x∈ΩΩ0，有|uk(x)|→+∞，從而由條件(f2)得

由Fatou引理，并注意到|ΩΩ0|>0，有

(8)

(9)

聯(lián)合式(7)～(9)，便可得到一個矛盾， 故w不恒為零不成立．綜上可得w恒為零和不恒為零均不成立，這是不可能的，因此泛函I滿足Cerami條件．

眾所周知，Cerami條件比(PS)條件弱，但和(PS)條件一樣，Cerami條件足以保證(第一)形變引理成立，所以可以在Cerami條件下得到噴泉定理．下面利用帶Cerami條件的噴泉定理證明問題(1)無窮多解的存在性．

2 定理1的證明

注意到βk→0以及q>p，由上式可得

(10)

(11)

(12)

由式(10)～(12),對u∈Yk,有

于是由文獻[1]中帶Cerami條件的噴泉定理知，泛函I有一列趨于+∞的臨界值．

[1] Liu Shibo，Li Shujie．Infinitely many solutions for a superlinear elliptic equation[J]．Acta Math Sinca，2003，46(4)：625-630．

[2] Chen Zhihui，Shen Yaotian．Infinitely many solutions of dirichlet problem forp-mean curvature operator[J]．Appl Math J Chinese Univ：Ser B，2003，18(2)：161-172．

[3] Ubilla P．Multiplicity results for the 1-dimensional generalizep-Laplacian[J]．J Math Ananl Appl，1995，190(2)：611-623．

[4] 余博強，姚仰新，鄭秋芳，等．含位勢的超線性p-Laplace方程的無窮多解的存在性[J]．南京師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，33(3)：14-18．

[5] 耿堤．含極限次臨界增長項p-Laplace方程的無窮多解[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2007，28(10)：1223-1231．

[6] 沈堯天，李周欣．含臨界指數(shù)的p-Laplacian方程的特征問題[J]．華南理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，33(11)：111-114．

[7] Caffarelli L，Kohn R，Nirenberg L．First order interpolation inequality with weights[J]．Compos Math，1984,53(3)：259-275．

[8] 楊海，范先令．帶有p-凹凸非線性項的p-Laplace方程的無窮多解的存在性[J]．蘭州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1999，35(2)：12-16．