兩群人口方程的適定性與譜特征

王 娟， 張齊鵬

(1.信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 河南 信陽(yáng) 464000；2.南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 河南 南陽(yáng) 473061)

0 引言

對(duì)人口發(fā)展過(guò)程的定量研究始于上世紀(jì)40年代，多數(shù)學(xué)者所研究的都是單群模型[1-6]，即對(duì)所研究的國(guó)家或地區(qū)的人群不加區(qū)分，假設(shè)他們具有相同的死亡率和出生率.然而，幾乎所有的國(guó)家都有不同的民族或種族構(gòu)成，每一個(gè)民族或種族都有各自不同的生活習(xí)慣、出生率和死亡率.因此，研究由不同民族或不同種族構(gòu)成的國(guó)家或地區(qū)的人口發(fā)展規(guī)律有其重要性和現(xiàn)實(shí)意義．

本文建立兩群人口發(fā)展模型，即假設(shè)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)由兩個(gè)民族或種族構(gòu)成，每個(gè)民族或種族具有各自的出生率和死亡率，兩民族或種族之間存在婚姻關(guān)系.運(yùn)用泛涵分析及有界線性算子的C0半群理論，討論了相應(yīng)的人口算子的譜分布，證明了兩群人口算子的譜由至多可數(shù)個(gè)孤立的有限重的本征值構(gòu)成，得到了兩群人口系統(tǒng)解的存在唯一性.

1 兩群人口發(fā)展模型

假設(shè)某一國(guó)家或地區(qū)的人口由兩類人群構(gòu)成(可以是兩個(gè)民族，也可以是兩個(gè)種族)，用p1(a,t),μ1(a)，β1(a),p2(a,t),μ2(a),β2(a)分別表示t時(shí)刻第1、第2類人群的年齡密度函數(shù)，出生率和死亡率，qi(a)(i=1,2)表示第i群中年齡為a的父母出生的嬰兒屬于第i群的比例，則(1-qi(a))表示第i群中年齡a的父母出生的嬰兒屬于第j(j=1,2)群的比例，設(shè)rm為該地區(qū)人口所能活到的最大年齡，[r1,r2]為育齡區(qū)間，則兩群人口發(fā)展方程可用帶積分邊界條件的方程組描述：

(1)

為研究問(wèn)題方便，引進(jìn)記號(hào)：

因此，系統(tǒng)(1)可寫(xiě)為

(2)

選取狀態(tài)空間H=L2[0,rm]×L2[0,rm]，定義內(nèi)積和范數(shù)：

顯然H是一個(gè)Hibert空間，在H上定義算子A:

式(2)可以寫(xiě)為H上的抽象Cauchy問(wèn)題：

這里，A稱為兩群人口發(fā)展算子.

2 兩群人口發(fā)展算子的譜特性

本節(jié)討論兩群人口發(fā)展算子A的譜特性.用σ(A)表示A的譜集，ρ(A)表示A的預(yù)解集，R(λ,A)=(λI-A)-1表示A的預(yù)解式.

引理1設(shè)λ是一個(gè)復(fù)數(shù)，且

F(λ)=(1-ω11(λ))(1-ω22(λ))-ω21(λ)ω12(λ)≠0,

則λ∈ρ(A)，預(yù)解算子R(λ,A)是一個(gè)緊算子.其中

證明對(duì)任意的y(a)∈H,考慮

(λI-A)p(a)=y(a).

(3)

由A的定義，(3)式可寫(xiě)為

(4)

則(3)有解

(5)

其中,

由式(4)和(5)知Ci(i=1,2)滿足線性方程組

(6)

顯然,F(λ)是(6)的系數(shù)行列式.設(shè)

顯然V是空間H中的一維算子，因此，V是空間H中的一個(gè)緊算子.由

則Ui是空間L2[0,rm]中的一個(gè)Volterra積分算子.從而，Ui是空間L2[0,rm]中緊算子.U=(U1,U2)T是空間H中的緊算子.因此，由R(λ,A)=Uλy+Vλy,則R(λ,A)是空間H的緊算子.證畢.

引理2設(shè)λ是一個(gè)復(fù)數(shù)，且F(λ)=(1-ω11(λ))(1-ω22(λ))-ω21(λ)ω12(λ)=0,則λ是A的幾何重?cái)?shù)為1的特征值，它所對(duì)應(yīng)的特征向量為p(a)=(p1(a),p2(a))T.其中

證明考慮(λI-A)p(a)=0,即

(7)

方程(7)有解

(8)

其中，Ci是常數(shù).由式(7),(8)，知Ci滿足線性方程組

(9)

顯然,F(λ)是線性方程組(9)的系數(shù)行列式.由F(λ)=0知，系數(shù)矩陣的秩為1.因此，方程組(9)存在非零解Ci(i=1,2),并且解空間的維數(shù)是1.

設(shè)C為一任意常數(shù),令C1=C，則C2=C(1-ω11(λ))/ω12(λ).由式(8)得方程(7)的解p(a)=(p1(a),p2(a))T，其中，

證畢.

由引理1和引理2，容易得到定理1和定理2.

定理1人口算子A的譜有以下特征:

(i)A的譜集σ(A)是由孤立的有限重?cái)?shù)的特征值構(gòu)成，并且λ∈σ(A)?F(λ)=0；

(ii)設(shè)λ是A的特征值，則λ的幾何重?cái)?shù)是1，并且它的特征向量為p(a)=(p1(a),p2(a))T.其中,

定理2算子A的譜集由至多可數(shù)個(gè)孤立的特征值構(gòu)成，并且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)是有限的.

3 兩群人口系統(tǒng)解的存在性和唯一性

應(yīng)用C0半群的Hiille-Yosida定理[7]來(lái)證明兩群人口系統(tǒng)解的存在性和唯一性.

引理3兩群人口算子A在空間H中是閉的、稠定的算子.

證明由定理2知，A的預(yù)解集是非空的，因此，A是閉算子.設(shè)

L={p(s)|p(s)=(p1(s),p2(s))T,pi(s)∈C∞[0,rm],

?Ci,0

Ci滿足

定理3算子A生成C0半群.

證明對(duì)p(s)∈D(A)，有

設(shè)ω=2a0,則對(duì)α>ω,有

‖(αI-A)p‖2=<(αI-A)p,(αI-A)p>≥α2‖p‖2-2a0α‖p‖2≥(α-ω)2‖p‖2.

由定理1和引理3,可知α∈ρ(A),因此，對(duì)任意的y(a)∈H,有R(α,A)y∈D(A),且

‖y‖2≥(α-ω)2‖R(α,A)y‖2,

由引理3、定理3得定理4.

定理4若p0(a)∈D(A)，則系統(tǒng)(1)存在唯一解，并且唯一解可以表示成p(a,t)=T(t)p0(a).

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