數列極限求解方法與技巧探討

陳忻鍇

【摘要】本文從多個角度出發，全面地探索了定義證明法、單調性有界法、泰勒公式求解法以及柯西收斂準則法等多種不同有效的數列極限求解方法，旨在為高等數學的學習提供更多的可行性參考，提高高等數學學習能力。

【關鍵詞】數列 極限求解 單調性

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）49-0119-02

一、定義證明法

定義證明法是解決高等數學當中數列極限求解問題的基本方法。高等數學當中的數列極限定義為“設{xn}為實數數列，a為定數。那么，對于任何給定的正數ε，總有正整數N，使當limxn=a或者xn→a，其中n→∞。”[1]，可以通過這一定義證明數列的極限。

例1：設xn>0，并且limxn=a，a>0（n→∞），求證lim = （n→∞）

解：∵limxn=a，∴？坌ε>0。∵當n>N時，有|xn-a|<ε，此時， = ε< ε，∴lim = 。

二、單調性有界定理法

除了應用定義法進行數列極限求解之外，單調性有界定理同樣也是證明極限存在的一項有效方法。根據單調性有界定理可以得出，單調性遞增有上界或者單調性遞減有下界時，數列必定存在著極限值。利用單調性有界定理對數列的極限進行證明時，只能證明該數列的存在性，但是若想進一步求出數列的解，需要結合方程思想。

例2：數列y1= ，y2= ，y3= ，…yn= ，其中a>0，證明數列{yn}收斂。

解：根據已知條件可以得出，數列yn屬于單調遞增數列，因此，只需要證明yn有上界，就可以得出數列{yn}收斂。由已知條件得出，y

根據前文提出的論據可以得出，若想要在證明數列極限之后，進一步分析出limyn=1，（n→∞），可以利用方程1 =1+a，求出滿足條件的1即可得出最終的結果。

三、泰勒公式求解法

在對數列的極限進行計算的過程中，可以應用到泰勒公式。根據歸結原則，將數列的極限轉化為函數的極限，之后，根據泰勒公式或者是麥克勞林展開式，替代數列當中的部分函數。此種方式可以達到簡化計算程序的目的。根據之前數列極限求解的表達公式，以及給定的極限，為后續的計算工作提供便利。在具體的操作和計算環節中，需要充分地關注到展開式的項數確定，并且要注意分子與分母無窮小的階數。通過化簡表達式的方式，完成無窮小階數的計算。

例3：計算lim ，其中n→∞。

解：原式= =- π 。

四、柯西收斂準則法

柯西收斂準則是判斷數列是否具有收斂性的重要標準之一。當推導出的數列具有單調性，但是不能明確地判斷單調性正確與否時，可以應用此種方法。柯西收斂準則的優勢在于，計算的過程不需要完全地依賴極限定義當中的極限值。在應用柯西收斂準則時，只需要根據數列本身具有的特征，就可以對數列的收斂還是發散性特征進行判斷。

例4：xn= ，其中數列{pn}與{qn}均滿足qn+1=pn+qn，并且p1=q1=1，pn+1=pn+2qn，計算limxn，其中n→∞。

解：因為x1+ =1，xn+1= = =1+ =1+ >1，

所以，|xn+1-xn|= < < →0，其中n→∞。

根據柯西收斂準則可以得出，當數列{an}收斂時，limxn=A，那么數列的兩邊取極限值，可以得出A=± ，因為xn≥1，所以A= ，所以limxn= 。在應用此種方法對數列的極限證明并且求解極限值時，還可以結合常系數線性遞推公式等方法。通過將一種或者多種數列求解的方法相互結合，有利于提升高等數學當中數列極限求解的效率。在實際的學習和研究過程中，學生需要在教師的指導和幫助下，積極地分析出不同數列極限求解方法的適應情況，在不同的問題當中，選擇最適合的數列極限求解方法，不僅可以提升問題的解決的效率，而且還能提高最終結果的準確度。

總結

綜上所述，通過系統地分析和研究了集中不同的數列極限求解方法，本人不僅鍛煉了綜合性的數學思維，而且還提升了從多個角度思考和解決問題的能力。數列極限求解不僅對高等數學學習和研究工作有重大幫助，而且對于本人在學習其他學科時，也具有積極的指導作用。通過利用批判性思維以及求索精神，期望能夠在今后的學習和生活中，發現更多未知的知識，為日常學習和生活帶去積極的影響。

參考文獻：

[1]廖紅菊.求無窮多項和或積的極限之方法與技巧[J].數學學習與研究，2012（23）：91-92.