期權定價理論及方法探析

萬換林

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

1 期權概念及其定價理論簡介

1.1 期權的概念

期權是合約協議的一種，期權持有者可在給定日期或者給定日之前以一定的價格進行買賣的一種資產。作為一種金融衍生工具，期權有規避市場風險的功能。若使用得當，買方可以有效避免不良結果發生;若使用不當，將會給買方帶來經濟虧損［1］。因此，在金融界期權定價問題是倍受人們關注的熱門話題之一，反映了金融理論中的好多核心問題。期權不僅可以標股票、期貨、商品、外匯等資產，還可以標利率、債券、權證、掉期等證券，不知不覺已成為一種金融工程師們最為信賴也最為喜好的金融衍生工具。［2］

1.2 期權定價理論發展的歷史軌跡

據記載，具有期權性質的橄欖油交易在3300年前就誕生于古希臘市場。在2900年前，從《漢穆拉比法典》中也發現它思想萌芽的足跡，但大家公認的期權定價理論的鼻祖是法國數學家巴舍利耶［3］。

第一個用上市股票進行看漲期權集中交易的市場于1973年出現在芝加哥委員會期權交易所，使股票期權交易第一次有組織地進行。碰巧Black與Scholes當年共同發表了一篇期權定價論文，此文掀起了一股絡繹不絕的期權定價理論熱潮。人們很快編出了相應的計算機程序，只要鍵入幾個相關的關鍵變量，比方說鍵入標的資產價格、貨幣利率等就可解出該方程，得到投資人預期的結果［4］。后人對此予以驗證，驚喜地發現期權的理論和實際是那么地吻合。隨后，該理論在金融交易的實踐中得到有效推廣運用，各類期權交易也得到了迅猛發展。

1.3 期權定價理論的思想內涵

期權定價理論思想內涵有以下四方面:一是對所交易的金融工具進行科學的估值和定價是金融交易的核心技術;二是金融衍生物的價格與標的物的價格息息相關，其受制于并反作用于標的物的價格;三是用來防范其它金融衍生工具風險的期權“或有性”，這使得期權估值和定價變得異常復雜;四是期權的風險反映在標的物的價格及其運動中，標的物的價格在一定程度上預測了未來市場。［5］

2 期權定價方法

期權定價方法繁多，最早出現的方法是傳統期權定價方法。隨后，著名的B－S期權定價法應運而生。隨后的三十多年里，有關期權定價理論及應用蓬勃發展，碩果累累。先后出現了二叉樹法、有限差分法等。近年來，期權定價理論借助數學計量工具等得到迅猛發展，人們的重點已轉移到了差異利率、隨機波動性、交易費用等條件下的期權定價方法研究。研究呈現出如下新動態:一是探索無套利下期權的一般性質;二是計量工具的利用程度逐步增強，利用數據直接構造函數;三是假設前提放得更寬，著手研究不完善市場條件下的期權定價問題，考究服從“跳—擴散過程”等諸如此類的期權定價問題，從而，在B－S期權定價方法的基礎上又誕生了許多其他不同的期權定價方法。

2.1 二項式期權定價法

二項式期權定價法即二叉樹法，由Cox及Ross等人提出［6］。在復雜期權定價中，它作為基本的定價手段，發揮著極其重要的作用。

此法假設如下:一是所標資產的未來價格只出現兩種情況，以概率p上漲或以概率1－p下跌;二是投資人可通過資金借貸和現貨建立與期權報酬一致的資產組合，且所標資產未來價格中上漲或下跌的報酬率是給定的;三是證券可自由分割，不受其他條件限制，且無稅負、交易成本等;四是有相等的借貸利率，均為無風險利率r。在上述給定情況下:p單期看漲期權定價公式為:(1－p)fd］，其中，期權的有效期為T，單位長度為△t的時間段為N，上升因子為u，下降因子為d，△t=，f為期權價值，fu為期末上升期權價值，fd為期末下降期權價值。我們以單期看漲期權定價公式為基礎，可以得到兩期看漲期權定價公式，再推廣即可得到n期看漲期權的定價公式［7］。

2.2 有限差分法

具體而言，有限差分法中，連續的資產價格和時間均被有限的離散區域代替。首先，把0時刻到T時刻之間的時間分成有限個小的等間隔時間段，令，則時間節點共有N+1個。其次，把資產價格的變化分成M個小的等間隔價格段，令△s=則資產價格共有M+1個。若劃分合理，資產初始價格將落在零時刻的一個格點上。其中，△t與△s二者相互獨立的。從而就構造出了(M+1)(N+1)個格點，我們把資產價格和時間的期權價值在相應的格點處離散計算。通過已知的邊界條件和格點間的關系，上述連續偏微分方程就轉化成一系列的差分方程，逐次求解，進而求出資產初始價格所對應格點的期權價格。

有限差分法采用了離散算子法，這一強有力的工具探討微分方程的機理和誤差。所列方程個數已降到有限單元法中所列方程個數的一半甚至三分之一。由于此法十分切合實際需要，因而得到人們的廣泛運用。鐘萬勰利用此法，電子計算機容量節省很多，計算時間也大大地縮短［6］。差分法在邊界規則和網格稀疏的情況下更是大顯身手。可見，離散算子具有較大的理論和應用研究價值。

2.3 蒙特卡羅方法與擬蒙特卡羅方法

2.3.1 蒙特卡羅方法

伴隨科技的發展與計算機的問世，20世紀40年代中期蒙特卡羅方法［9］誕生了。該方法又稱統計模擬方法，是在概率統計理論的指導思想下，對歐式期權進行估值的一類行之有效的方法。假設用一個黑箱模擬待解決的問題，輸入偽隨機數流，給予分析并輸出相應的模擬估計值。其中，這里的偽隨機數序列是指在計算時由確定的算法生成序列。更多的模擬次數，獲得更精確答案，從而有效地降低了價值計算中不確定性造成的誤差。如果一個風險資產滿足以下三個條件:一是標的變量的價格決定期權的回報;二是期權的回報與路徑息息相關;三是期權的回報依賴于多個標的變量選取。此時蒙特卡洛方法模擬運算時間幾乎以線形增長，具有十足的競爭力。在隨機過程和終值計算都比較復雜時，蒙特卡洛模擬方法也相當適用。

2.3.2 擬蒙特卡羅方法

蒙特卡洛模擬產生的偽隨機數有以下弊端:不僅收斂速度慢而且計算量大。但隨著Halton序列等多種擬隨機序列的產生，出現了擬蒙特卡洛模擬方法。擬蒙特卡羅方法［10］較蒙特卡洛模擬有如下改進方向:技術采納基本方差減少術;同時采用擬蒙特卡洛與隨機化的擬蒙特卡洛模擬術。擬蒙特卡洛模擬中用擬隨機數序列代替了偽隨機數。點之間即使在多維均勻分布中，也無大的距離及多的聚集現象，擬隨機數呈現出良好低差異性，點的分布明顯改善。從而在一程度上克服了蒙特卡羅方法的缺陷，具有更強的有效性，顯著優越于蒙特卡羅方法。

2.4 鞅方法

Cox和Ross等四人共同提出了期權定價的鞅方法。未定權益未來的折現收益在等價鞅測度下的數學期望就是未定權益價格。借助各種數學工具求解該數學期望，就能得到期權的當前價值。等價鞅測度在完全的市場中總是唯一的，我們借助鞅方法就能夠得到期權的無套利價格，且價格唯一［11］。這與B－S模型下的期權價格完全相同。在現實生活中進行交易時，我們經常需要利用市場數據選擇一個比較合理的等價鞅測度，從而確定一個合理而又科學的實際交易價格。

2.5 確定性套利方法

首先，假定v為期權的收益向量，即v=［v1，v2，…，vs］T，期權 v價格為 p*(v)，期權在不確定狀態下的價格矩陣為D，期權初始價格向量為q=［q1，q2，…，qn］T∈Rn，θ=［θ1，θ2，…，θn］T∈Rn為期權風險組合向量。引入確定性套利、金融市場廣義完全以及非廣義完全的定義:如果資產組合θ滿足qTθ≤0，且DT?0，則稱θ是一個確定性套利;對任意v，總有滿足DTθ≥v的強復制策略θ存在，則金融市場是廣義完全的，否則非廣義完全。金融市場完全就必定廣義完全;但是，金融市場廣義完全則不一定完全。簡而言之，市場廣義完全性只是對市場完全性的一種推廣。確定性套利的期權定價法就是在這種廣義完全的金融市場的假設下問世的。期權v的強復制策略θ構成的集合用H(v)={θ∶DTθ≥v}表示，則期權 v的價格如下［16］:

通常，期權的賣方為了對他的潛在負債進行套期保值，從而就構造出一個滿足DTθ≥v的強復制策略θ，并且要求期權最低價格為套期保值成本。即期權的賣方堅持期權價格保持大于或等于它的套期保值成本以圖一己之利。

2.6 ∈－套利定價方法

當非完全市場中滿足DTθ=v的期權v的完全復制策略θ不存在，此時上述方法就不能合理地給期權定價。從而B－S定價法、二叉樹定價法、有限差分法以及確定性套利方法顯得無能為力，于是誕生了∈－套利定價。

首先，介紹一下套利機會的定義:套利機會是一個保證在某些偶然情況下獲取正報酬而沒有負報酬的投資策略，也無需有凈投資，套利機會就代表了一個貨幣泵。所謂的∈－套利是給定∈下的期權組合θ，其中，θ滿足 qTθ≤0和 DTθ+ ∈I≥0，1 的 s維向量記為I。確定性套利是一個在任意狀態下套利收入總為正的“確定性貨幣泵”;而傳統套利和∈－套利是一個只為套利者提供了隨機的正的套利收入的“概率性貨幣泵”。在套期保值者可接納的的最大虧損范圍內，即‖DTθ－v‖≤0范圍內，使套期保值成本qTθ最小的資產組合θ的市場價值 qTθ就是∈－套利可給出期權買賣雙方都可接納的價格。對任意期權v，若給定∈，期權v的價格如下［16］:

其中，v，p*(v)，q=［q1，q2，…，qn］T∈Rn，θ=［θ1，θ2，…，θn］T∈Rn，D 的含義與2.5 問題中相同。

2.7 區間定價方法

在非完全的金融市場中期權的價格盡管不能確定，但可以給出期權價格的相應的區間，于是產生了區間定價方法。區間定價方法是通過無套利定價原理確定區間的兩個端點a與b的值。其中，a為期權買入者可以接納的價格，b為期權賣出者可以接納的價格，那么一個合理的期權價格一定在［a，b］區間內。a與b的值都可通過無套利定價原理確定。期權買方自私地希望期權價格的確定不給賣方帶來套利，否則，他寧可自己套利不會把好處讓給賣方。這樣通過期權賣方無套利原則就確定了。同理，利用買方無套利原則，也就確定了。從而就確定了非完全市場衍生資產的價格區間如下［12］:

其中，H(v)={θ∶v－DTθ≥0}為期權 v的買方強復制策略構成的集合;G(v)={θ∶DTθ－v≥0}為期權v的賣方強復制策略構成的集合。

2.8 效用無差別定價法

效用無差別的期權定價法是 Hodges和Neuberger在1989年提出來的。在完全的、無套利、無摩擦的金融市場中等價鞅測度是唯一的，期末收益在等價鞅測度下的條件期望就是未定權益價格。但在不完全的市場中等價鞅測度不再是唯一的，未定權益的價格也變的不唯一了，標準和模型不同就得到不同的價格。下面論述對不可復制的未定權益CT定價原理。首先，效用無差別定價原理如下:一個投資人在t=0時，不投資的最大效用與支付pb后在t=1時未定權益C1所獲得的最大效用二者是無區別的。設投資人初始財富為x，令

其中:U為效用函數，A(x)為初始財富x在t=1產生的收益所構成的集合。利用效用無差別定價原理，V(x－pb(k)，k)=V(x，0)的解就應該是未定權益C1的無差別購買價pb(k)。即t=0時投資人最多樂意支付pb(k)購買k份未定權益C1。類似地，效用無差別賣價ps(k)為投資人賣出k份未定權益而樂意接受的價格，即ps(k)滿足V(x+pb(k)，－k)=V(x，0)可知 pb(k)=－ps(－k)。未定權益的發行者以投資人投資效用最優的理念來評估期權價格［11］。通過效用函數對期權定價充分考慮了投資者的風險偏好，與金融環境甚為吻合，該方法得到的期權價格滿足某個積微分方程。但是，具體的精確價格難以求出。

2.9 Merton跳擴散法

在Black－Scholes期權定價方法中，股票價格是連續變化的。但是好多實證研究顯示，匯率和股票市場經常遭受外在因素的沖擊，導致了股票的價格異常波動。Merton提出了跳擴散期權定價方法，從而很好地描述了上述金融市場跳的實際情況［8］。

Kou在2002年給出了跳擴散期權定價模型的一種解法，這種解法把股票價格的尖峰、厚尾現象描述的較好［17］。

3 各種期權定價方法的優劣探析

通過對上述各種越來越復雜的期權定價方法探討與分析，得出如下結論:

一是各種期權定價法從應用角度來看:二叉樹法、傳統期權定價法、B－S法、M－S法和有限差分法只適用于完全的金融市場。區間定價法、確定性套利定價法、∈－套利定價方法適用完全與非完全兩種金融市場。完全的金融市場中期權價格是某一個確定的值;而期權價格在非完全的金融市場中變成了一個區間［6］。區間定價方法、套利定價方法和確定性套利定價法是二叉樹定價法推廣，二叉樹法是區間定價方法、確定性套利定價法和套利定價方法特殊化。運用套利定價法所得出的值屬于運用區間定價法所得出的區間。區間定價方法、套利定價法和確定性套利定價法都同時適用于完全金融市場和非完全的金融市場。

二是各種期權定價法從求解角度看，可分為解析法與數值法，傳統期權定價法和B－S方法為解析方法;剩下的二叉法、有限差分法、M－C法等都是數值方法。在期權交易策略中B－S法給予了清晰的定量分析，得到確定的解析解，當期權的數量不大時，用B－S法直接又方便。但是，B－S法只適合歐式期權，當期權價格依賴于路徑及其他復雜情況時，B－S法不再適合［14］。數值計算方法也不是完美的:蒙特卡羅模擬法應用簡單便利并擅長處理盈虧狀態特復雜的情況且計算效率較高，尤其適合處理路徑依賴期權和標的變量超過3個的期權定價問題，但只能用于歐式期權的計算;二叉法和有限差分法可用于美式期權的計算，但計算量大且效率又低，而且不能計算路徑依賴型的期權。就二者而言，在大量期權價值計算時有限差法效率更高。

三是從期權定價連續型方法與傳統的離散型方法相比較，連續型方法理論更加完善，更加精確，還可解決B－S法遺留的棘手問題。但是，構建比較復雜，計算能力要求較高。但連續型方法與離散型方法不是確定的，比如在離散時間假設下推出的確定性套利方法，區間定價方法以及∈－套利定價方法完全可以推廣到連續時間模型上。就目前來說金融風險日趨復雜，連續時間模型對計算機計算能力要求越來越高，對此，一般金融機構幾乎無能為力。但連續型方法使用范圍較廣，已逐漸被國際學術界接納，也備受我國學者所關注。［15］

總之，金融市場運行復雜多變，期權定價問題變的更加具有挑戰性。但在現有理論局限下，期權定價中的基本假設又或多或少與實際存在偏離，期待我們能創造性地研究出既符合實際又計算靈活方便的期權定價方法。

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