關于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2p2y3

石 增，高 麗

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

1 主要引理

長期以來，丟番圖方程一直是數論中引人關注的研究課題，純粹數學和應用數學中很多問題都可以歸結為此類方程的求解問題。設N+是全體正整數的集合，p是奇素數，1996年曹珍富［1］討論了方程x(x+1)(x+2)=2py2，x，y∈N+，當 x 為奇數時解的情況.文獻［2］討論了方程 x(x+1)(x+2)=2py2當x為偶數時解的情況。2011年崔保軍［3］討論了方程x(x+1)(x+2)=2py3的解，并且證明了方程x(x+1)(x+2)=2py3僅有一正整數解(p，x，y)=(3，1，1). 本文討論了方程

的解，并證明了此方程沒有正整數解。

引理1［4］方程 x2－1=yn，x，y，n∈N+，n≥2僅有正整數解(x，y，n)=(3，2，3).

引理2［5］設 a，b是給定的正整數，b＞1且不被6k+1型素數整除，則方程 x3－by3=1，b＞1，xy≠0除了b=2僅有解(x，y)=(－1，－1)，b=9僅有解(x，y)=(－2，－1)，b=17 僅有解(x，y)=(18，7)和 b=20僅有解(x，y)=(－19，－7)外，其它情況均無整數解。

引理 3［6］不定方程 x3+y3=z3， x，y，x∈Z，無xyz≠0的解。

由引理2可以得到引理4。

引理4 方程x3+1=2y3僅有正整數解(x，y)=(1，1)，方程 x3－1=2y3僅有正整數解(x，y)=(－1，－1)。

2 結果及證明

定理 丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2p2y3沒有正整數解。

證明 用反證法。設方程(1)有正整數解(x，y)，因(x+1，x(x+2))=1，故存在正整數 a，b 使得方程(1)存在下面四種情況:

由式(2)有(2p2a3)2－1=b3，根據引理1可知，該情況下方程(1)無解。

由式(3)有(p2a3)2－1=2b3，即(p2a3－1)(p2a3+1)=2b3，易知p2a3為奇數，此時有(p2a3－1，p2a3+1)=2，故存在不為零的正整數 c，d 使得p2a3－1=2c3，p2a3+1=(2d)3，或 p2a3－1=(2c)3，p2a3+1=2d3，其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b的正整數，此時有c3－4d3=1，或d3－4c3=1，由引理2可知，該情況下方程(p2a3)2－1=2b3無解，即方程(1)在這種情況下無解。

對于(4)式，我們有(a3)2－1=2p2a3，因為 a為奇數，所以有(a3+1，a3－1)=2，由此我們有

其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b 的正整數。

由引理3可知，該情況下方程(1)無解。

由式(5)得(2a3)2－1=p2b3，因為(2a3－1，2a3+1)=1.所以有

其中:c，d 是滿足(c，d)=1，cd=b 的正整數。

當2a3+1=c3時，即c3－1=2a3，那么由引理4可知(6)式無正整數解.則此時式(1)無正整數解。

當2a3－1=d3時，即 d3+1=2a3，由引理4可知2a3－1=d3僅有正整數解(d，a)=(1，1)，代入2a3+1=p2c3式得:3=p2c3，此式無正整數解。證畢。

［1］崔保軍.關于丟番圖方程 x(x+1)(x+2)=2py2［J］.高師理科學刊，2010，30(2):35－37.

［2］曹珍富.數論中的問題與結果［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，1996:124－125.

［3］崔保軍.關于丟番圖方程 x(x+1)(x+2)=2py3［J］.高師理科學刊，2011，31(2):25－26.

［4］柯召.關于丟番圖方程x2=yn+1，xy≠0［J］.四川大學學報:自然科學版，1964，14(4):457－460.

［5］曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，1989:219－221.

［6］潘承洞，潘承彪.初等數論［M］.北京:北京大學出版社，1991:298－303.