L－fuzzy層次拓撲空間中的Dα－強分離性

權 婷，馬保國

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

分離性是拓撲學的重要內容之一，由于層次結構的存在使得L－fuzzy拓撲空間的分離性比一般拓撲學的分離性要復雜，幾乎所有較理想的結果都是在L－fuzzy拓撲空間的層次結構上得到的。目前，大多學者對分離性的研究都是基于文獻［1］中所提出的L－fuzzy拓撲空間中分離性而展開的。在文獻［2］引入一種層次閉集，即Dα－閉集，而文獻［3］又引入一種層次開集即Ir開集，并且定義了L－fuzzy層次拓撲空間和α遠域等概念，文獻［5］利用這種層次閉集和層次開集討論了L－fuzzy層次拓撲空間的Dα－分離性。在此基礎上，本文在L－fuzzy層次拓撲空間中討論了Dα－強分離性的概念及其性質，以及與已有的Dα－Ti分離性的關系。

文中未加說明的符號和概念均合于［1－3］。

1 層次拓撲空間

定義1.1［2］設(LX，δ)是 L－fts，α∈M(L). 算子 Dα∶LX→δ'定義為:

?A ∈ LX，Dα(A)=∧ {G ∈ δ'|G［α］? A［α］}，其中 G［α］={x∈X|G(x)≥α}.

稱 A∈LX為(LX，δ)中的 Dα－閉集，若(Dα(A))［α］=A［α］.(LX，δ)中的全體 Dα－閉集，記作Dα(δ).

定理1.1［2］設(LX，δ)是 L－fts，A∈LX，若 A∈δ'，則?α∈M(L)，A∈Dα(δ). 即 δ'?Dα(δ)，Dα(δ)形成X上的一個余拓撲。稱(LX，Dα(δ))為 Dα－層次拓撲空間。

定義1.2［3］設(LX，δ)是 L－fts，r∈P(L)，定義算子Ir∶LX→δ為:

其中A(r)={x∈X|A(x)}.稱Ir為層次內部算子。

?A∈LX稱為(LX，δ)為中的 Ir－開集，若(Ir(A))(r)=A(r).(LX，δ)中的全體 Ir－開集記作Ir(δ).

定理1.2［3］設(LX，δ)是L－fts，A∈LX. 若 A∈δ，則?r∈P(L)，A∈Ir(δ)，即δ?Ir(δ)，Ir(δ)形成 X上的一個拓撲，稱(LX，Ir(δ))為Ir－層次拓撲空間。

Ir－層次拓撲空間和Dα－層次拓撲空間，統稱為L－fuzzy層次拓撲空間。

定義1.3［4］設(LX，δ)是 L－fts，A∈LX，x∈X，α∈M(L)，則:

(1)P∈Dα(δ)稱為 xα的 α－遠域，若 xα?P，xα的全體α－遠域記作ηα(xα);

(2)e∈M*(LX)稱為 A的附著點，若?P∈ηα(e)有 A［α］?P.

定義1.4［5］設(LX，Ir(δ))是 Ir－ 層次拓撲空間，若?e，d∈M*(LX)，當 e≠d 時，存在 P∈ηα(e)，使 d［α］?P，則稱(LX，Ir(δ))是 Dα－T1的。

若?e，d∈M*(LX)，當 e∧d=0時，存在 P∈ηα(e)及 Q∈ηα(d)使得 P∪Q=X，稱(LX，Ir(δ))是Dα－T2的。

定理1.5［5］設(LX，δ)是由分明拓撲空間(X，τ)拓撲生成的 L－fts，(LX，Ir(δ))是與其相對應的 Ir－層次拓撲空間，則(LX，Ir(δ))是 Dα－ Ti(i=1，2)空間當且僅當(X，τ)是 Ti(i=1，2)。

2 L－fuzzy層次空間中的Dα－強分離性

定義2.1 設(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 層次拓撲空間，?α∈M(L).若對任意的 L－fuzzy點 e、d，存在P∈η(e)，使 d［e］?P，則稱(LX，Ir(δ))是強 Dα－ T1空間。記為SDα－T1.

顯然，SDα－T1是Dα－T1的，反之不成立。

定義2.2 設(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 層次拓撲空間，α∈M(L). 如果對任意的L－fuzzy點e、d，當e∧d=0時，有 P∈ηα(e)及 Q∈ηα(d)，使得 P(x)=1或 Q(x)=1 成立，則稱(LX，Ir，(δ))為強 Dα－T2空間，記為SDα－T2.

顯然SDα－T2是Dα－T2的，反之不成立。

定理2.1 設(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 層次拓撲空間，(LX，Ir，(δ))是強 Dα－ T1空間當且僅當對每個L－fuzzy點 e，e［α］是 Dα－閉集。

定理2.2 SDα－T1分離性是Dα－遺傳的。即如果(LX，Ir，(δ))是SDα－T1空間，則對X 任一子集Y，子空間(LY，Ir(δ)|Y)也是 SDα－T1空間。

證明 設(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空間，e是 LY中的任意L－fuzzy點，則e的擴張e*是(LX，Ir(δ))中的 L－fuzzy點，又(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空間，故由定義是(LX，Ir(δ))中的 Dα－閉集，此時 e［α］=是(LY，Ir(δ)|Y)中的 Dα－ 閉集，因此(LY，Ir(δ)|Y)是 SDα－T1空間。

定理2.3 設(LX，Ir(δ))是{(LXt，Ir(δt))}t∈T的乘積空間，如果對?t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－T1空間，那么(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空間.

證明 設?t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－ T1空間，e是(LX，Ir(δ))中的任一 L－fuzzy點，顯然，e=，?t∈T，et是(LXt，Ir(δt))中的 L－fuzzy 點，從而(et)［α］是(LXt，Ir(δt))的 Dα－閉集，因此 e［α］=是(LX，Ir(δ))中的 Dα－閉集，所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空間。

此定理說明了SDα－T1具有可乘性。

同理可得SDα－T2空間也有以下性質。

定理2.4 設(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空間，則對X的任意子集Y，子空間(LX，Ir(δ)|Y)也是 SDα－T2空間。

證明 設(LX，Ir(δ))是 SDα－ T2空間，e，d 是(LY，Ir(δ)|Y)中的任意兩個 L－fuzzy點，且 e∧d=0Y，此時e*∧d*=0X.于是，存在 P∈ηα(e*)及 Q∈ηα(d*)，使 P=1X，Q∈1X. 這時 P|Y與 Q|Y分別是 e，d 在(LY，Ir(δ)|Y)中的遠域，且?z∈Y，(P|Y)=1X|Y=1|Y或者(Q|Y)=1X|Y=1|Y，因此子空間(LY，Ir(δ)|Y)是 SDα－T2空間。

定理2.5 設(LX，Ir(δ))是{(LXt，Ir(δt))}t∈T的乘積空間，如果對?t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－T2空間，則(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空間。

證明 設?t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－ T2空間，e，d 是(LX，Ir(δ))中的任一 L－fuzzy點，且 e∧d=0，設?e={et}t∈T，d={dt}t∈T，則有 m∈T，使 em∧dm=0，此時em，dm是Xm上的任意L－fuzzy點，因為(LXt，Ir(δt))是 SDα－T2空間，故存在 Dα－閉集Bm∈η(em)，Cm∈ηα(dm)，且對?xm∈Xm，Bm(xm)=1Xm或Cm(xm)=1Xm.

設Pm∶X→Xm是投影射影，令B=Pm－1(Bm)，C=(Cm)，則 B=Pm－1(Bm)，C=(Cm)是(LX，Ir(δ))中的 Dα－閉集.

設 x={xt}t∈T是(LX，Ir(δ))中的任意一 L－fuzzy點，并且Pm－1(Bm)(x)=Bm，Pm(x)=Bm(xm)=1X，(Cm)(x)=Cm，Pm(x)=Cm(xm)=1X，所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空間。

定理2.6 SDα－T2是弱同胚不變性質。

證明 令 f∶(LX，Ir(δ))→(LY，Ir(σ))是連續的一一的滿的Zedeh型函數且(LX，Ir(δ))是SDα－T2空間。設y1，y2是(LY，Ir(σ))中任意二個 L－fuzzy 點，且 y1∧y2=0Y，則存在(LY，Ir(δ))中的 L－fuzzy 點 x1、x2，使 f(x1)=y1，f(x2)=y2且 x1∧x2=0X. 由于(LX，Ir(δ))是SDα－T2空間，所以存在 P∈ηα(x1)，Q∈ηα(x2)使 P=1X或 Q=1X. 令 E=f(P)，F=f(Q)，由f是一一的連續的映射知f(P)∈ηα(y1)，f(Q)∈ηα(y2)，并且 E=1Y或 F=1Y. 因此SDα－T2性質是弱同胚不變性質。

此定理也就是說當 f∶(LX，Ir(δ))→(LY，Ir(σ))是連續的一一的滿的L值Zadeh型函數，若(LX，Ir(δ))是 SDα－ T2空間，則(LY，Ir(σ))也是SDα－T2也是空間。

定理2.7 設(LX，δ)是由分明拓撲空間(X，τ)拓撲生成的 L－fts，(LX，Ir(δ))是與其相對應的 Ir－層次拓撲空間，則(LX，Ir(δ))是 SDα－ Ti(i=1，2)空間當且僅當(X，τ)是 Ti(i=1，2)空間。

證明 僅證明i=2時的情形.

必要性，因為SDα－T2是Dα－T2的，又由文獻［5］定理14直接得出結論成立。

下證充分性。設(X，τ)是 T2空間，且 x，y是 X中的兩個不同點，取開集U，V∈τ使x∈U，y∈V且U∩V=?，令 P=(Dα(X'U))［α］，Q=(Dα(X'v))［α］，則由x?U＇，y?V＇知 P與 Q 分別是 x與 y的 α －遠域且P∪Q=X，因為P與Q都是分明集，所以P(x)=1或 Q(x)=1.所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空間。

［1］王國俊.拓撲空間論［M］.西安:陜西師范大學出版社，1988.

［2］孟廣武，孟晗.Dα－閉集及其應用［J］.模糊系統與數學，2003，17(1);2427.

［3］李令強，金秋.Ir－開集及其應用［J］.模糊系統與數學，2005，19(3);9295.

［4］孫守斌，孟廣武，趙峰.序同態的Dα－連續性［J］.山東大學學報(理學版)，2007，42(7);4953.

［5］孫守斌，孟廣武.L－fuzzy層次拓撲空間中Dα－的分離性［J］.內蒙古師范大學自然學報(自然科學漢文版)，2008，37(2);173175.