區間參數智能梁結構開環系統動力特性分析

王敏娟，陳建軍，魏永祥，張 超，馬洪波

(西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

區間參數智能梁結構開環系統動力特性分析

王敏娟，陳建軍，魏永祥，張 超，馬洪波

(西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

以區間參數壓電智能梁結構為研究對象，在材料性能參數和幾何尺寸為區間變量時采用區間分析法建立了結構質量矩陣和剛度矩陣的區間模型。從求解結構振動動態特性的Rayleigh商出發，利用區間變量運算法則推導出了結構開環系統固有頻率的數字特征表達式。通過算例，考察了區間參數對結構固有頻率特性的影響，驗證了所建模型和方法的可行性與合理性。研究結果表明，文中利用區間系數分析法來研究壓電智能梁結構開環系統的動力特性具有一定的工程應用價值。

動態特性分析;區間運算法則;區間系數;區間變量;壓電智能梁

由于壓電材料具有正、負壓電效應且體積小、質量輕等一系列優點，使得其在智能結構的振動控制中具有廣泛的應用前景。因此，研究智能結構系統振動特性的問題是一個非常有意義的課題。近年來，有關這方面的研究已有不少成果［1］問世，如:文獻［2］建立了含壓電傳感器和執行器的智能結構平面梁單元模型，分析了在無外力而只有外電場作用下梁的靜力位移響應;文獻［3］分析了具有分布壓電傳感器和執行器的四邊簡支方板在開、閉環狀態下的動態特性，討論了模態形狀和相應的模態電壓以及各階固有頻率隨反饋增益的變化情況;文獻［4］采用隨機因子法分析了隨機參數智能結構的動力特性;文獻［5］針對壓電智能薄板結構，建立了具有12個位移自由度、2個電自由度的有限元模型，并分析了隨機參數壓電智能板結構的動態特性。然而，迄今為止所看到的智能梁結構動力分析幾乎均屬于確定性模型或概率模型，關于區間參數智能梁結構開環系統動力特性分析的文獻鮮有報道。

在結構的分析與設計中，需要合理地定量處理對結構響應和性能起支配作用的各種參數所存在的不可避免的不確定性因素。概率理論在此領域曾發揮了重要的作用，得到了較為成功的應用，隨機參數有限元方法成為不確定結構計算的最為普遍的方法。但概率模型的應用需要較多數據信息描述參數的概率分布類型，且通常計算量比較大。而概率數據的小誤差可能導致結構的概率計算出現較大偏差。因此，概率模型在統計數據較少或計算模型不足夠精確時，不是一種理想的模型。由于區間分析方法只需要給定參數取值的上下限范圍即可，故近年來利用區間方法進行結構分析的研究日益受到重視，文獻［6］提出了一種求解結構特征值問題上下界的區間計算方法，將該方法［7－8］加以拓廣并應用于區間結構的閉環系統動力特性分析和區間參數結構的動力響應分析中。文獻［9］提出了一種不確定性桁架結構區間有限元分析的區間因子法，文獻［10］利用區間因子法分析了具有區間參數的智能桁架結構動力響應問題。文獻［11－13］進一步將區間集合模型用于研究動力響應的靈敏度分析、可靠性問題以及誤差分析，并獲得了一些重要的結果。

本文以壓電智能梁結構為研究對象，利用區間分析法建立了結構的質量矩陣和剛度矩陣的區間模型。并通過算例分析了結構物理參數和幾何尺寸分別或同時為區間變量時對結構開環系統動力特性的影響。其結果表明，在掌握的原始數據較少的情況下，區間分析法處理壓電智能梁結構開環系統的動力特性問題是一種比較方便、可行而有效的方法。

1 智能梁結構的動力學有限元方程

考慮一長為L、寬為w、厚為H且各向同性的平面彈性梁，其上下表面均勻地粘貼一層厚度均為h壓電片，上表面的傳感層和下表面的致動層均采用相同的材料。整個梁沿軸線方向被離散為ne個單元，相鄰兩個單元上的壓電片電極之間彼此絕緣，并假設一個壓電片只有兩個電自由度。令其單元外加作用載荷Fep=0，單元阻尼矩陣Ce=0，則由Hamilton原理并按有限元方法進行擴階和疊加后，可得壓電智能梁結構的整體動力學有限元微分方程［2］為:

令Fc=0，可得結構開環系統的有限元方程為:

2 區間參數壓電智能梁結構的不確定性分析

2.1 區間分析法

設R為實數域，對于給定的兩個實數Xl，Xu∈R，且 Xl≤Xu，則有:

其中，Xl為有界閉區間;Xl、Xu為區間變量X的上下界;Xc=(Xl+Xu)/2為區間變量Xl的均值或中間點;Xr=(Xu－Xl)/2為區間變量Xl的離差或半徑;令δ=Xr/Xe=(Xu－Xl)/(Xl+Xu)為區間Xl的區間變化率。令 η =Xl/Xc，則 Xl= ηXc，η∈［Xl/Xc，Xu/Xc］，可知 η的區間均值為1。由此可見，區間系數η描述了區間變量Xl的不確定性，對任意已知上下界的區間參數而言，均可求出其相應的區間系數。

2.2 質量矩陣與剛度矩陣區間模型的建立

結構參數由于各種客觀原因存在不確定性因素，必將導致智能梁結構剛度矩陣和質量矩陣的不確定性，并最終導致結構特征值問題的不確定性。但結構參數不確定性的幅度或界限較易確定，如何建立區間參數結構的剛度矩陣和質量矩陣，是區間參數結構動力特性分析必須首先解決的問題。

根據區間運算法則［14］，可得出如下關系式的變換:

3 區間參數智能梁結構動力特性的數字特征

對結構動力特性的分析涉及到各階固有頻率和所對應的固有振型向量，兩者為一一對應關系，且完全正相關。因此，確定了結構的每一階固有頻率也就確定了與之相對應的固有振型。故只需分析結構的固有頻率。將式(6)和式(9)代入結構動力學Rayleigh商表達式，結合文獻［15］中的區間特征值表達式，即:

4 算例

壓電智能懸臂梁結構單元劃分與節點編號見圖1所示，其傳感層和致動層都是由同一種PVDF壓電材料均勻地粘貼在彈性體的上、下表面。沿梁的軸向被均勻地離散為4個單元，其中節點編號由左向右依次為1、2、3、4、5，單元編號由左向右依次為:①、②、③、④。每個單元的長度l為(7.35，8.65)cm，其上下兩層壓電片厚度 h 同為(0.075，0.125)mm，基梁厚度 H=(4.37，5.63)mm，梁寬 w=(4.83，5.17)mm，且幾何尺寸的區間分散性相同。PVDF的物理區間參數取值分別為:壓電常數為 e31=(0.045，0.047)C/m2，壓電體的介電常數為，壓電體的彈性模量為 Ep=(1.97，2.03) ×109N/m2，質量密度為 ρp=(1.695，1.905) ×103kg/m3。彈性體的物理區間參數為:質量密度 ρm=(7.695，8.305) ×103kg/m3，彈性模量 Em=(1.83，2.37) ×1011N/m2。

圖1 智能懸臂梁結構圖Fig.1 Intelligent cantilever beam

依據公式(12)、(13)和式(15)，在結構物理參數和幾何尺寸分別或同時為區間變量時，可通過區間運算計算得出結構固有頻率ωi的區間系數的區間均值以及的上下界取值范圍，如表1所示。對應于表1中所得到的區間系數，在表2中相應地給出了壓電智能懸臂梁結構開環系統的三種區間模型。其中區間模型Ⅰ為結構物理參數為區間變量時前5階固有頻率的計算結果，區間模型Ⅱ為結構幾何尺寸取區間變量時前5階固有頻率計算結果，區間模型Ⅲ為結構物理參數和幾何尺寸同時為區間變量時前5階固有頻率計算結果。同時，分別列出了在物理參數與幾何參數分別和同時為區間變量時結構固有頻率的區間變化率。為了對比本文方法的正確性與合理性，文中給出了所有區間變量取區間均值時以及區間參數同時取上限和下限時結構開環系統固有頻率的確定性模型計算結果。

對比表2中區間變化率的計算結果可知，在結構幾何參數和物理參數的區間分散性相同的情況下，前者對結構系統固有頻率的區間分散性影響較大;在結構物理參數和幾何參數同時為區間變量時，結構固有頻率的區間變化率將顯著增大。因此，在不確定性結構的分析中，結構參數的區間分散性是不容忽視的。

表1 固有頻率區間系數的取值范圍Tab.1 Value range of interval coefficient of natural frequency

表2 各階固有頻率取值范圍及區間均值的計算結果Tab.2 Results of value range and interval mean value of natural frequency for every step

5 結論

文中基于區間分析法構建了壓電智能梁結構的質量和剛度矩陣的區間模型，并在結構的物理參數和幾何參數均為區間變量的情況下，利用區間系數法分析了區間參數壓電智能梁結構固有頻率的數字特征。

通過算例考察了文中所建立的區間參數壓電智能梁結構的有限元模型是合理的。該方法的優點在于只需已知系統中諸區間參數的上下界，即可反映出任一區間參數對壓電智能梁結構固有頻率區間分散性的影響程度。對比算例中確定性模型的計算結果可知:文中的求解方法是可行且有效的。

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Dynamic characteristic analysis of an open-loop system for an intelligent beam with interval parameters

WANG Min-juan，CHEN Jian-jun，WEI Yong-xiang，ZHANG Chao，MA Hong-bo

(School of Electromechanical Engineering，Xidian University，Xi'an 710071，China)

Structures with a piezoelectric intelligent beam were taken as study objects here.According to the method of interval analysis，the interval models of mass matrix and stiffness matrices with interval variables for structural physical parameters and geometric dimensions were built.From Rayleigh quotient for dynamic characteristic of structural vibration，and based on the interval algorithms，the computation expressions of natural frequencies of a structural openloop system were deduced.Through an example，the effects of the uncertainty of the structural interval parameters on the structural natural frequency were inspected，and the model constructed and the method proposed here were verified.It was shown that the interval coefficient method is applicable in dealing with the dynamic characteristic of an open-loop system of an intelligent beam.

dynamic characteristic analysis; intervalalgorithms; intervalcoefficient; intervalvariables;piezoelectric intelligent beam

O324

A

國家863高技術研究發展計劃項目(2006AA04Z402);國家自然科學基金項目(50905134)資助

2010－08－31 修改稿收到日期:2010－11－18

王敏娟 女，博士生，1981年生