函數零點問題歸類例析

☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學 丁金霞

函數零點問題歸類例析

☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學 丁金霞

函數的零點問題是高考的常考題型，此類問題的考查主要有4個方面：（1）零點的求解；（2）零點的個數；（3）已知零點個數，求參數的范圍；（4）零點所在的區間.下面就這幾個問題的求解方法舉例分析.

一、零點的求解

例1（2012年上海高考）函數f（x）=4x-2x+1-3的零點是________.

解析：原方程可化為（2x）2-2·2x-3=0，解得2x=3或2x=-1（舍去），故x=log23.

例2（2012年湖北高考）函數f（x）=xcos2x在區間［0，2π］上的零點個數為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

點評：求函數f（x）的零點問題，直接利用f（x）= 0來求解即可.

二、零點的個數的判斷

針對零點的個數問題，我們通常采用數形結合的方法來處理.

又x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，在同一坐標系中作出y=sinx和y=f（x）的圖像如圖1，由圖知y=f（x）-sinx在［-2π，2π］上的零點個數為4個.

點評：對于三角函數的零點問題，一般需要規定自變量的取值范圍；圖形的引入使函數零點個數問題的求解更加直觀明了.

三、已知零點的個數求參數的取值范圍

例5 已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f（x）在區間［-1，1］上有零點，求a的取值范圍.

點評：本試題主要考查了函數的圖像及其性質，利用函數圖像確定兩函數的交點，從而確定參數的取值范圍.

四、零點所在的區間

對于零點所在區間的判斷，一般是利用二分法原理：函數f（x）在區間（a，b）上存在零點的充分條件是f（a）f（b）＜0.

點評：注意f（a）f（b）＜0只是f（x）在區間（a，b）上存在零點的充分非必要條件.FH